Определение оптимальной передаточной функции без учета физической реализуемости

Рассмотрим решение задачи, пользуясь частотными представлениями. Исходя из того, что ал­горитм преобразования системы равен , запишем для схемы рис. В.1 выражение суммарной ошибки:

(2.25)

Спектральная плотность ошибки

(2.26)

а ее средний квадрат

(2.27)

Для минимизации ошибки необходимо вы­брать соответствующую передаточную функцию системы .

Основная трудность в минимизации выражения (2.27) для среднего квадрата ошибки связана с учетом условия физической осуществимости. Сначала найдем без учета этого условия, а затем на основе полученного решения построим лучшую из физически реализуемых систем.

Записав передаточные функции в форме

и

,

вычислим:

Тогда (2.27) принимает вид

(2.28)

Из выражения (2.28) необходимо найти такие значения и , при которых бы выполнялось условие . Это типичная вариационная задача, решаемая с помощью уравнений Эйлера. Возможны и другие методы ее решения, например метод Бодэ Г. и Шеннона К. [17]

Учитывая, что , , , положительны при любом значении частоты , для минимизации z² необходимо, чтобы отрицательный член был наибольшим, т.е. чтобы . Тогда уравнение (2.28) примет вид:

Поскольку все члены в подынтегральном выражении положительны, то минимум СКО определяется функцией Q. Приравнивая

,

получаем

.

Другой подход при определении основывается на уравнениях Эйлера.

Обозначим

, (2.29).

где — функционал;

и — функции частоты.

Из вариационного исчисления известно, что задача отыскания экстремума функционала

(2.30)

где и — варьируемые функции;

, — заданные пределы интегрирования;

решается с помощью системы уравнений Эйлера:

и (2.31)

с учетом заданных граничных условий.

Поскольку в соответствии с (2.29) в функционал I входят лишь и и не входят их производные, то уравнение Эйлера вырождается и сводится к приравни­ванию нулю частных производных от F по и :

(2.32)

(2.33)

Так как , и , из уравне­ния (2.33) следует, что

. (2.34)

Подставляя (2.34) в уравнение (2.32), найдем, что

;

откуда

(2.35)

Имея в виду, что

,

(2.34) и (2.35) можно объединить в одно уравнение.

Это уравнение дает возможность определить оптимальную передаточную функцию системы

(2.36)

Как следует из выражения (2.36), единственными статистическими характеристиками сигнала и помехи, необходимыми для определения оптимальной передаточной функции, являются их спектральные плотности. Подставив значение оптимальной передаточной функции в выражение (2.28), получим

. (2.37)

Для оценки вида оптимальной передаточной функции системы предположим, что кривые спектральных плотностей задающего воздействия и помехи взаимно не пересекаются (рис. 2.5, а). В пределах равна нулю спектральная плотность , а в пределах — спектральная плотность .

Следовательно, для первого диапазона частот в соответствии с (2.36) и для второй ; при этом суммарная ошибка для обоих диапазонов.

Если кривые и пересекаются (рис. 2.5, б), то на тех участках спектра, где и , значение [см. формулу (2.36)]. На участках, где и , значение меньше единицы и уменьшается по мере уменьшения отношения мощности задающего воздействия к мощности помехи на данном участке спектра.

Вследствие этого участки спектра, для которых отношение мощности задающего воздействия к мощности помехи больше, пропускаются системой лучше, чем при меньшем значении соотношения этих мощностей.

Итак, рассматриваемая оптимизация связана с умень­шением влияния помех на выходную величину системы. При отсутствии помех оптимизация не нужна, так как при передаточная функция .

Рассмотрим пример определения оптимальной передаточной функции. Пусть спектраль­ные плотности задающего воздействия и помех на входе системы равны соответственно:

;

,

алгоритм преобразования

между и .

Подставляя эти значения в (2.36), получим

Или

.

Так как и , то полюсы этой функции (т. е. значения р, превращающие ее в ) характеризуются выражением

.

Следовательно, функция имеет три полюса:

; ; .

Один из полюсов () находится в правой полуплоскости, поэтому оптимальная передаточная функция физически нереализуема.

Поскольку член всегда является функцией , оптимальная передаточная функция всегда имеет полюсы, расположенные как в левой, так и в правой полуплоскости комплексной плоскости р.

Заметим, что при переходе от переменной р к переменной левая и правая полуплоскости переходят соответственно в верхнюю и нижнюю полуплоскости комплексной плоскости . Действительно, заменяя р на , получим

.

Следовательно, при переходе от какой-либо точки плоскости р к соответствующей точке плоскости нужно повернуть радиус-вектор, проведённый в плоскости , к этой точке на 90° по часовой стрелке. Указанное означает, что оптимальная передаточная функция всегда имеет полюсы, расположенные как в верхней, так и в нижней полуплоскости комплексной плоскости . В дальнейшем, имея это в виду, будем указывать расположение полюсов в плоскости р.

Учитывая, что в выражении (2.36) спектральные плотности и - симметричные функции и сумма их является четной функцией , можно такую сумму представить в виде произведения двух сопряженных множителей:

. (2.38)

Если обозначить , то выражение (2.36) можно переписать в виде

. (2.39)

Если корни уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной переменной р, то корни уравнения должны лежать в ее правой полуплоскости. Импульсная переходная функция, найденная для такой передаточной функции, будет существовать и для отрицательных t, т.е. до приложения возмущения в виде функции, что не имеет физического смысла и свидетельствует о нереализуемости функции .

Проиллюстрируем сказан­ное на примере. Положим, что имеется временная функция симметричная относительно начала времени (рис. 2.6), покажем, что если при t <0, то в изображении этой функции по Лапласу будут корни, лежащие как права, так и слева от мнимой оси.

Преобразование Фурье функции f(t) будет иметь вид

.

Положим , тогда

т.е. функция f(p) имеет один полюс в правой и один полюс в левой полуплоскости. Полюса левой полуплоскости определяют заштрихованную часть кривой f(t), a полюса правой полуплоскости — часть кривой f(t) влево от . Если бы f(t) была импульсной переходной функцией, то это означало бы, что в момент импульсная переходная функция начинается из — . Условие (2.24) физической реализуемости выполняется только при от­сутствии полюсов, передаточной функции в правой полуплос­кости.

Дата добавления: 2015-07-15