Читайте также:
|
|
Рассмотрим решение задачи, пользуясь частотными представлениями. Исходя из того, что алгоритм преобразования системы равен , запишем для схемы рис. В.1 выражение суммарной ошибки:
(2.25)
Спектральная плотность ошибки
(2.26)
а ее средний квадрат
(2.27)
Для минимизации ошибки необходимо выбрать соответствующую передаточную функцию системы
.
Основная трудность в минимизации выражения (2.27) для среднего квадрата ошибки связана с учетом условия физической осуществимости. Сначала найдем без учета этого условия, а затем на основе полученного решения построим лучшую из физически реализуемых систем.
Записав передаточные функции в форме
и
,
вычислим:
Тогда (2.27) принимает вид
(2.28)
Из выражения (2.28) необходимо найти такие значения и
, при которых бы выполнялось условие
. Это типичная вариационная задача, решаемая с помощью уравнений Эйлера. Возможны и другие методы ее решения, например метод Бодэ Г. и Шеннона К. [17]
Учитывая, что ,
,
,
положительны при любом значении частоты
, для минимизации z2 необходимо, чтобы отрицательный член
был наибольшим, т.е. чтобы
. Тогда уравнение (2.28) примет вид:
Поскольку все члены в подынтегральном выражении положительны, то минимум СКО определяется функцией Q. Приравнивая
,
получаем
.
Другой подход при определении основывается на уравнениях Эйлера.
Обозначим
, (2.29).
где — функционал;
и
— функции частоты.
Из вариационного исчисления известно, что задача отыскания экстремума функционала
(2.30)
где и
— варьируемые функции;
,
— заданные пределы интегрирования;
решается с помощью системы уравнений Эйлера:
и
(2.31)
с учетом заданных граничных условий.
Поскольку в соответствии с (2.29) в функционал I входят лишь и
и не входят их производные, то уравнение Эйлера вырождается и сводится к приравниванию нулю частных производных от F по
и
:
(2.32)
(2.33)
Так как ,
и
, из уравнения (2.33) следует, что
. (2.34)
Подставляя (2.34) в уравнение (2.32), найдем, что
;
откуда
(2.35)
Имея в виду, что
,
(2.34) и (2.35) можно объединить в одно уравнение.
Это уравнение дает возможность определить оптимальную передаточную функцию системы
(2.36)
Как следует из выражения (2.36), единственными статистическими характеристиками сигнала и помехи, необходимыми для определения оптимальной передаточной функции, являются их спектральные плотности. Подставив значение оптимальной передаточной функции в выражение (2.28), получим
. (2.37)
Для оценки вида оптимальной передаточной функции системы предположим, что кривые спектральных плотностей задающего воздействия и помехи взаимно не пересекаются (рис. 2.5, а). В пределах
равна нулю спектральная плотность
, а в пределах
— спектральная плотность
.
Следовательно, для первого диапазона частот в соответствии с (2.36) и для второй
; при этом суммарная ошибка
для обоих диапазонов.
Если кривые и
пересекаются (рис. 2.5, б), то на тех участках спектра, где
и
, значение
[см. формулу (2.36)]. На участках, где
и
, значение
меньше единицы и уменьшается по мере уменьшения отношения мощности задающего воздействия к мощности помехи на данном участке спектра.
Вследствие этого участки спектра, для которых отношение мощности задающего воздействия к мощности помехи больше, пропускаются системой лучше, чем при меньшем значении соотношения этих мощностей.
Итак, рассматриваемая оптимизация связана с уменьшением влияния помех на выходную величину системы. При отсутствии помех оптимизация не нужна, так как при передаточная функция
.
Рассмотрим пример определения оптимальной передаточной функции. Пусть спектральные плотности задающего воздействия и помех на входе системы равны соответственно:
;
,
алгоритм преобразования
между и
.
Подставляя эти значения в (2.36), получим
Или
.
Так как и
, то полюсы этой функции (т. е. значения р, превращающие ее в
) характеризуются выражением
.
Следовательно, функция имеет три полюса:
;
;
.
Один из полюсов () находится в правой полуплоскости, поэтому оптимальная передаточная функция
физически нереализуема.
Поскольку член всегда является функцией
, оптимальная передаточная функция
всегда имеет полюсы, расположенные как в левой, так и в правой полуплоскости комплексной плоскости р.
Заметим, что при переходе от переменной р к переменной левая и правая полуплоскости переходят соответственно в верхнюю и нижнюю полуплоскости комплексной плоскости
. Действительно, заменяя р на
, получим
.
Следовательно, при переходе от какой-либо точки плоскости р к соответствующей точке плоскости нужно повернуть радиус-вектор, проведённый в плоскости
, к этой точке на 90° по часовой стрелке. Указанное означает, что оптимальная передаточная функция
всегда имеет полюсы, расположенные как в верхней, так и в нижней полуплоскости комплексной плоскости
. В дальнейшем, имея это в виду, будем указывать расположение полюсов в плоскости р.
Учитывая, что в выражении (2.36) спектральные плотности и
- симметричные функции
и сумма их является четной функцией
, можно такую сумму представить в виде произведения двух сопряженных множителей:
. (2.38)
Если обозначить , то выражение (2.36) можно переписать в виде
. (2.39)
Если корни уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной переменной р, то корни уравнения
должны лежать в ее правой полуплоскости. Импульсная переходная функция, найденная для такой передаточной функции, будет существовать и для отрицательных t, т.е. до приложения возмущения в виде функции, что не имеет физического смысла и свидетельствует о нереализуемости функции
.
Проиллюстрируем сказанное на примере. Положим, что имеется временная функция симметричная относительно начала времени (рис. 2.6), покажем, что если
при t <0, то в изображении этой функции по Лапласу будут корни, лежащие как права, так и слева от мнимой оси.
Преобразование Фурье функции f(t) будет иметь вид
.
Положим , тогда
т.е. функция f(p) имеет один полюс в правой и один полюс в левой полуплоскости. Полюса левой полуплоскости определяют заштрихованную часть кривой f(t), a полюса правой полуплоскости — часть кривой f(t) влево от . Если бы f(t) была импульсной переходной функцией, то это означало бы, что в момент
импульсная переходная функция начинается из —
. Условие (2.24) физической реализуемости выполняется только при отсутствии полюсов, передаточной функции в правой полуплоскости.
Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 145 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
СИНТЕЗ САУ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЕ | | | Определение оптимальной передаточной функции с учетом физической реализуемости |