Расчет дисперсии помехи с помощью корреляционной функции

Для определения дисперсии помехи можно воспользоваться соотношением (1.25), по которому

(1.99)

Если наряду с двусторонним преобразованием Фурье (1.26) и(1.28) рассмотреть односторонние преобразования:

, (1.100)

, (1.101)

где * —правая полуветвь двусторон­ней четной корреляционной функции;

— ее комплексный спектр,

то расчеты по формуле (1.99) могут быть осуществлены, как у Шаталова А. С. [19], в области изображений на основе предельного перехода:

. (1.102)

Вследствие четности корреляционной функции и спектральной плотности между односторонним и двусторонним преобразованиями Фурье устанавливается зависимость

, (1.103)

причем

(1.104)

где — вещественная часть комплексного спек­тра;

— его мнимая часть;

—символическая запись операции опреде­ления по вещественной части комплекс­ного спектра его мнимой части.

Учитывая (1.104), формулу (1.102) можно предста­вить в виде

. (1.105)

Помимо определения одной точки корреляционной функции () часто требуется нахождение полной кор­реляционной функции по ее полуветви (), т. е.

, (1.106)

где — операция обратного преобразования Фурье.

Пример 1.10. Требуется рассчитать корреляцион­ную функцию на выходе системы при входном белом шуме единичного уровня.

Передаточная функция системы

(1.107)

или частотная характеристика

. (1.108)

Учитывая, что , имеем

. (1.109)

В соответствии с (1.104) нетрудно установить, что комплексный спектр корреляционной функции на выходе системы должен иметь тот же знаменатель, что и (1.108). Поэтому

. (1.110)

Раскрывая соотношение (1.103), определим неизвест­ные коэффициенты :

. (1.111)

Из (1.111) следует тождество

. (1.112)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе­нях в левой и правой частях тождества (1.112), полу­чаем систему уравнений:

Откуда

(1.113)

, (1.114)

(1.114а)

Таким образом, определен комплексный спектр кор­реляционной функции (1.110). В преобразованной по Лапласу форме его можно записать как

. (1.115)

Путем обратного преобразования Лапласа находят всю правую полуветвь корреляционной функции

(1.116)

для некратных полюсов .

На основе предельного перехода (1.102) можно опре­делить только выходную дисперсию

. (1.117)

Аналогичным путем можно произвести расчет выход­ной корреляционной функции при произвольной стацио­нарной помехе. При этом входная спектральная плот­ность формируется из белого шума единичного уровня некоторым формирующим фильтром с передаточной функцией , определяемой из уравнения

.

Полученные ранее формулы для частного вида передаточной функции (1.107) могут быть обобщены на передаточную функцию произвольного порядка [18].

Предложенная методика преобразования корреляционных функций помех позволяет однотипным методом на основе одних и тех же определителей с различными заме­щенными столбцами рассчитывать не только дисперсию, но и все свойства корреляционной функции на выходе си­стемы при заданном стационарном случайном воздейст­вии. В ряде случаев это дает некоторые расчетные пре­имущества по сравнению с непосредственными расчетами по формуле (1.42) даже при использовании табличных интегралов.

Дата добавления: 2015-07-15