Определение оптимальных параметров СЛУ без учета ограничений.

Средний квадрат ошибки САУ при наличии задающего и возмущающего воздействий определяется с помощью формулы

(2.8)

Будем предполагать, что S_x(p) и S_f(p) —рациональные полиномы р. В этом случае с помощью таблицы ин­тегралов, приведенной в приложении , можно получить аналитическое выражение, связывающее средний квадрат ошибки управления , параметры системы , сигнал и помех :

(2.9)

Исследуя (2.9) на экстремум (приравняв частные производные по нулю), найдем п уравнений, из которых определим оптимальные параметры САУ, обеспечивающие минимум ошибки. Если число переменных n невелико, отыскание экстремума функции F не вызывает затруднений. При большом числе п отыскание экстремума сложной функции F сопряжено с трудностями, используют приближенные методы.

Пример 2.1. Для системы с передаточной функцией , на которую поступают задающее воздействие и помеха со спектральными плотностями соотвественно и , ранее было получено выражение для ошибки

.

Из этого выражения видно, что увеличение k_v приводит к уменьшению составляющей ошибки, обусловленной задающим воздействием, но увеличивает составляющую, обусловленную помехой. Таким образом, существует оптимальное значение k_v, при котором суммарная дисперсия ошибки минимальна. Это оптимальное значение легко найти из условия

,

что дает

откуда

.

Из формулы видно, что значение зависит от величин и a, характеризующих задающее воздействие и помеху, и при их изменении изменяется.

На рис. 2.3 приведеныкривые изменения составляющих ошибки и определено положение, соответст­вующее .

Рис. 2.3. Кривые изменения сум­марной ошибки и ее составляющих

Следует отметить, что число варьируе­мых параметров обыч­но бывает невелико, так как многие пара­метры системы опре­деляются выбранными функционально необ­ходимыми элементами и их изменять нельзя. Это су­щественно облегчает задачу синтеза. Фактически изме­няемыми оказываются два-три параметра. Например, коэффициент преобразования разомкнутой системы, по­стоянные времени корректирующих звеньев и др.

Аналогична методика выбора оптимальных парамет­ров системы и в том случае, если на систему подаются не только случайные, но и детерминированные воздей­ствия.

Пример 2.2. Система автосопровождения цели по дальности сопровождает цель, идущую прямо на стан­цию, при этом задающее воздействие

(t) = D(t) =v, т. е. является детерминированной функцией времени. Характеристика помехи . Передаточная функция системы .

Определим составляющую ошибки от детерминированного задающего воздействия:

так как .

Суммарная ошибка

Исследуя значение на экстремум, получим

Откуда

Анализируя формулу для , видим, что с увеличением v необходимо увеличение k_v, а с увеличением а необходимо уменьшение k_v.

Заметим, что здесь был рассмотрен случай постоянной динамической ошибки. Если динамическая ошибка в процессе слежения меняется, то оптимальной будет система с искусственно переменными параметрами, так как условия оптимальности все время меняются.

Дата добавления: 2015-07-15