Общие сведения о синтезе САУ и критериях оптимальности

При построении САУ необходимо возможно лучше решить основную задачу: свести к оптимальному значе­нию (минимальному или максимальному) некоторый критерий качества системы. Таким критерием в общем случае является функционал I вида

,(2.1)

где t —время;

— параметры систе­мы;

и — соответственно воз­мущающие и за­дающие воздействия.

Статистический синтез и заключается в том, чтобы по­строить оптимальную, т. е. наилучшую в статистическом смысле, САУ при действии на нее полезного задающего воздействия и помех, являющихся случайными функция­ми времени.

При нормальном законе распределения задающего воздействия и помех удовлетворительные результаты дает критерий минимума СКО.

В тех случаях, когда плотность вероятности воздейст­вия или помехи неизвестна, при определении характери­стик оптимальной системы целесообразно принимать нор­мальный закон распределения вероятности и добиваться минимальных потерь управления. Этим условиям отвеча­ет линейная САУ, у которой . В дальнейшем для оценки оптимальности САУ используется критерий мини­мума СКО;

Если воздействия имеют не только нормальное рас­пределение, но и являются стационарными случайными функциями, то наилучшей из всех возможных является стационарная (с постоянными параметрами) линейная система.

Это объясняется тем, что все вероятностные характеристики нормальных процессов с равными нулю математическими ожиданиями определяются их корреляционными функциями (двумерной функцией распределения вероятности). При построении оптимальной систем этом случае используют только такие функции, что является известным ограничением рассматриваемого хода.

Если известно, что входные сигналы не гауссовы, то лучших результатов оптимизации можно достичь, применяя нелинейные системы, что обусловливает необходимость знания функций распределения более высоких порядков.

Имея в виду использование критерия минимума СКО кратко, познакомимся с другими статистическими критериями оптимальности.

При применении критерия минимального среднего риска, обеспечивающего минимум среднего значения выбранной функции потерь, используют понятие условного риска. Величину среднего риска, постоянную для одного определенного сигнала , называют условным риском. Он представляет собой среднее значение функции потерь при многократной реализации системой одного и того же сигнала .

Условный риск в соответствии с (1.6) вычисляют формуле

,

где — условная плотность вероятности величины у, т. е. плотность вероятности у приопределенном фиксированном значечении .

— область возможных значений у.

Критерий Котельникова, или критерий идеального наблюдателя применяют в задачах обнаружения сигнала. Он представляет собой критерий

минимума вероятности ошибочного решения

— вероятность ложного обнаружения сигнала;

— вероятность потери сигнала.

Использование данного критерия целесообразно в за­дачах на поражение цели, если важен только факт попа­дания, а не величина ошибки — отклонение от центра цели.

Если ложное обнаружение (ложная тревога) более нежелательно, тоуказанный критерий дополняют усло­вием, фиксирующим снижение вероятности ложного об­наружения до определенного допустимого уровня . Критерий условного минимума вероятности оптимального решения, учитывающий

при ,

называют критерием Неймана — Пирсона.

Приведенные критерии, как и критерий минимума СКО, являются частными случаями критерия минимума среднего риска. Например, для критерия Котельникова

Так как среднее значение функции равно сумме произведений двух ее возможных значений (0 и 1) на вероятности правильного и ошибочного решений и , то

Для решения задачи оптимизации управления с по­мощью рассмотренных критериев оптимальности тре­буется знание вероятностных характеристик (законов распределения задающего сигнала и всех помех) сигна­лов. Статистические критерии, применяемые при решении задач, требующих приведенных априорных знаний, и са­ми задачи называют бейесовыми.

Минимаксный критерий основан на исполь­зовании критерия минимума максимального условного риска:

.

Каждому сигналу соответствует своя величина ус­ловного риска , т. е. среднее значение функции потерь . Этот критерий означает минимизацию максимального условного риска для всех значений, соответствующих различным , т. е. получение наилучшего результата в наихудшей ситуации. В среднем для всех критерий дает увеличенную функцию потерь, но зато для самого неблагоприятного сигнала функция потерь будет меньше, чем при минимизации среднего риска.

Минимаксный критерий не требует подобно критерию минимума среднего риска знания вероятностных характеристик входного сигнала. Применение этого критерия целесообразно, когда распределение входного сигнала неизвестно, но наиболее вероятными будут самые неблагоприятные ситуации. Это имеет место, например, в конфликтной ситуации стрельбы ракетами по маневрирующему самолету противника. В данном случае — координаты цели, а у — координаты ракеты. Задачей системы управления является обеспечение встречи ракеты с целью, а цель в свою очередь стремится к действиям, затрудняющим задачу преследования ее ракетой. Подобные условия характерны для организованного противодействия, когда внешним воздействиям придаются крайне неблагоприятные для работы системы значения.

САУ, действие которых основано на минимаксном критерии, называют игровыми системами.

Целесообразно использование минимаксного критерия и в случаях отсутствия конфликтной ситуации, когда необходимо обеспечить наилучшее качество работы системы в наиболее тяжелых условиях.

При выборе критерия оптимальности системы следует иметь в виду, что чем более полно критерий отражает на­значение системы, тем он сложнее и тем труднее определять систему по такому критерию. Метод определения оптимальной системы и сама система зависят от исходных данных, характеризующих условия применения системы, например от вероятностных характеристик сигнала и помех, а также от класса систем, из которых она выбирается. Затруднительно, например, выбирать оптимальную систему в классе всех возможных систем. Проще ее определять в классе линейных систем, только она не будет наилучшей по сравнению с системой, определяемой в классе всех возможных систем.

Часто практически целесообразно определять оптимальную линейную систему с заданной структурной схемой, оптимальную линейную систему с некоторыми ограничениями, например с ограничением на время регулирования Т и др.

Следовательно, в каждой конкретной обстановке не­обходимо выбирать наиболее подходящий критерий опти­мальности системы. Подробнее статистические критерии оптимальности и их применение для синтеза оптималь­ных САУ описаны в книге B.C. Пугачева [6].

В общем случае задача статистического синтеза вклю­чает задание алгоритма преобразования или идеальной передаточной функции и сведений о задающих и возмущающих воздействиях, сведений об ограничениях, накладываемых или вытекающих из задан­ных свойств системы, и выбор критерия оптимальности системы.

Дата добавления: 2015-07-15