Порядок определения оптимальных передаточных функций

Порядок определения оптимальных передаточных функций физически реализуемых САУ следующий

Рис. 2.7. К методике определения физически реализуемой оптимальной переда­точной функции

1. Вычисляем суммарную спектральную плотность воздействия и возмущения и представляем эту сумму в виде двух сомножителей:

(2.41)

2. Выделяем составляющую .

3. Раскладываем на простейшие слагаемые выражение

(2.42)

и отбрасываем члены с полюсами, расположенные правой полуплоскости, т. е. , выделяя физически реализуемую часть .

4. Определяем оптимальную физически реализуемую передаточную функцию системы:

(2.43)

Для определения реализуемой оптимальной переда­точной функции в общем случае (2.7) Н. Винер приводит выражение для в интегральной форме:

, (2.44)

где — взаимная спектральная плотность предписанного выходного сигнала и суммарного входного воздействия ().

Выбор формулы для определения оптимальной пере­даточной функции (2.40 или 2.44) зависит от конкретной задачи, обычно более удобным является соотношение (2.40), если помеха и задающее воздействие не коррелированны.

Для случая, когда отношение

,

т. е. является дробно-рациональной функцией, где , — полиномы от (причем степень полинома меньше, чем степень полинома ), формула (2.44) упро­щается и приводится к виду (2.40). Разложим дробь на простые дроби, полагая вначале, что не имеет кратных корней:

.

При вычислении внутреннего интеграла в формуле (2.44) для каждой простой дроби можно применить тео­рию вычетов [7]. При этом контур интегрирования следует взять в верхней полуплоскости, т. е. следует изменять от — R до +R и по верхней полуокружности радиуса R. Далее необходимо устремить R к бесконечности. Так как при t >0 интеграл по верхней полуокружности стремится к нулю при неограниченном возрастании радиуса R, то врезультате получим

Таким образом, для любого корня полинома , лежащего в верхней полуплоскости, и для любого значе­ния s, удовлетворяющего условию , можно записать

,

а для любого корня в нижней полуплоскости

Приведенный результат можно записать в виде

,

где суммирование производится только по тем индексам «к», которым соответствуют корни , расположенные в верхней полуплоскости.

Переменная s может быть заменена на обычную переменную :

.

Можно показать, что последняя формула справедлива и при кратных корнях полинома .

Для получения оптимальной передаточной функции заменяется на р:

Полученное выражение для оптимальной переда­точной функции совпадает с (2.40) при , что имеет место если корреляция между x(t) и f(t) отсутствует.

При наличии взаимной корреляции задающего воз­действия и помехи оптимальная передаточная функция

, (2.45)

где

;

, —изображения Фурье от взаимно-корре­ляционных функций задающего воздействия и помехи.

Оптимальную передаточную функцию можно записать в следующей форме:

. (2.46)

При отсутствии взаимной корреляции между задающим воздействием и помехой взаимно-корреляционные функции равны нулю и их спектральные плотности:

Проиллюстрируем использование приведенных мето­дов определения оптимальной передаточной функции на примере.

Дата добавления: 2015-07-15