Применение метода

Возможность приведения нелинейной функциональной зависимости к линейной позволяет использовать при расчете замкнутых систем хорошо разработанные методы расчета линейных систем и с их помощью определять статистические характеристики системы при наличии НЭ.

Применим рассмотренную методику для расчёта замкнутой системы с одним нелинейным элементом (рис. 3.6).

Предположим, входной сигнал является стационарным случайным процессом с нормальным распределением. Этот сигнал может представлять собой либо полезный сигнал, либо линейную комбинацию помехи и полезного сигнала.

Передаточная функция линейной части

где Р(р), Q(p) —полиномы с постоянными коэффици­ентами.

Требуется оценить математическое ожидание и дисперсию ошибки случайной функции z(t) в установившемся режиме.

Уравнение ошибки в области времени, связывающее входную величину нелинейного элемента z с входной величиной системы х, можно записать в виде

(3.17)

где — оператор дифференцирования по времени.

Приведенную алгебраическую форму записи уравнения (3.17) применяют в связи с тем, что нелинейное преобразование (3.2) не имеет удобного операторного описания. В этом случае уравнение линейной части системы

(3.18)

Предположим, что ошибка z(t) на входе нелинейного элемента обладает законом нормального распределения. Это равносильно требованию, чтобы выходной сигнал y(t) имел нормальную плотность распределения. Если закон распределения сигнала u(t) и отличается отнормального, то, проходя через линейную часть, он нормализуется. Точное определение дисперсии выходной величины или ошибки в замкнутой системе невозможно, а для ее нахождения можно применить метод статистическойлинеаризации. Используя линейное преобразование (3.4) для приближенной замены нелинейной функции u = F(z), которую будем полагать нечетной, однозначной, запишем

(3.19)

(3.20)

(3.21)

В результате статистической линеаризации нелинейный элемент заменяется безынерционным усилителем с разными коэффициентами усиления по полезному сигналу и помехе , а данная система заменяется двумя связанными линейными системами для полезного сигнала и помехи (рис. 3.6, б).

Коэффициенты и для такой системы определяют по формулам или графикам, приведенным в приложении II в виде функций пока неизвестных величии и D_z. Найдя эти величины, можно определить значения и . Полученная таким образом система будет линейной только при определенных значениях и D_z т.е. при стационарном воздействии на систему. При изменении этого воздействия система остается нелинейной, как коэффициенты и зависят от m_z и D_z.

Рассмотрим вначале стационарный случайный режим системы, который возникает в результате стационарного случайного воздействия на ее входе . Статистически линеаризованная система, как следует из представления ее в виде двух линейных систем, будет иметь различные передаточные функции для математического ожидания и для случайной составляющей ошибки системы . Пользуясь известными свойствами передаточной функции, получим следующие формулы для передаточных функций ошибки рассматриваемой линеаризованной системы:

а) по математическому ожиданию (по полезному сигналу)

(3.22)

б) по случайной составляющей

(3.23)

Соотношение между математическими ожиданиями входного случайного воздействия и выходной величины z в установившемся режиме получим (3.22):

(3.24)

Передаточные функции (3.22) и (3.23) взаимосвязаны с помощью коэффициентов и которые, как отмечалось, зависят от m_z и D_z.

Поэтому необходимо со­вместное решение двух уравнений. Формула (3.24) может рассматриваться как одно из уравнений, устанавливающих связь неизвестных математического ожидания и дисперсии случайной функции z.

Пользуясь линейной теорией преобразования случайныхфункций, можно получить второе уравнение, связывающее неизвестные m_z и D_z, в виде выражения, определяющего дисперсию сигнала ошибки:

(3.25)

где -спектральная плотность входного сигнала (t);

- спектральная плотность процесса (t).

Интеграл, стоящий в правой части выражения (3.25) табулирован.

Определение математического ожидания и дисперсии сигнала ошибки совместным решением уравнений (3.24) и (3.25) можно производить либо методом последовательных приближений, либо графоаналитическим.

При решении задачи методом последовательных при­ближений задаются некоторыми значениями коэффици­ентов и и по формулам (3.24) и (3.25) определяют m_z и D_z в первом приближении. По найденным значениям m_z и D_z уточняют величины и . Затем вновь определяют m_z и D_z во втором приближении и т. д. При требуемой точности совпадения соответствующих приближений расчет заканчивается.

Графоаналитическое решение уравнений (3.24) и (3.25) сводится к построению в координатах m_z, D_z кривых, соответствующих этим двум уравнениям, и в определении точки их пересечения.

Наиболее просто математическое ожидание и дисперсию сигнала ошибки определяют при условии, что мате­матическое ожидание воздействия на входе нелинейного элемента равно нулю или постоянно. Расчет при этом производится в следующей последовательности:

а) нелинейный элемент заменяют усилительным звеном с коэффициентом усиления (m_z,D_z);

б) определяют установившееся значение сигнала на входе НЭ при учете

лишь математического ожидания входного сигнала методами теории линейных систем:

(3.26)

где — коэффициенты, определяемые параметрами системы;

m_z и D_z обусловлены введением усилительных звеньев k₀(m_z,D_z) и (m_z,D_z);

в) нелинейный элемент заменяют усилительным звеном с коэффициентом усиления (m_z,D_z);

r) определяют дисперсию сигнала на входе НЭ, обусловленную центрированной составляющей входного воздействия, методами теории линейных систем:

(3.27)

д) проводят графоаналитическое решение уравнений (3.24) и (3.25) и находят значения m_z и D_z.

Решение целесообразно проводить в следующем порядке:

1) для различных фиксированных значении D_z строят семейство функций (рис. 3.7,а);

2) под углом 45° из начала координат проводят прямую; по точкам ее пересечения с кривыми семейства строят график (рис. 3.7, в);

3) для различных фиксированных значений m_z строят семейство функции F₂=F₂(D_Z) (рис. 3.7, б);

4) проводят прямую из начала координат, по точкам пересечения которой с кривыми семейства F₂ строят график (рис. 3.7, в).

Точка пересечения кривых и определяет математическое ожидание и дисперсию сигнала на входе НЭ.

На этом заканчивается первый этап исследования, при котором осуществляется линеаризация си­стемы с определением параметров эквивалентного линей­ного звена.

Получив значения m_z и D_z, по известным методам линейной теории можно рассчитать дисперсию и математическое ожидание сигнала в любой точке системы, что и являет­ся содержанием второго этапа исследования системы.

В частности, при заданном ма­тематическом ожидании входного сигнала и его спектральной плотно­сти можно найти математическое ожидание ошибки и ее дисперсию в установившемся режиме.

Для системы, линейная часть которой с характеристикой К(р) охвачена обратной связью в виде НЭ ,имеют место соотношения (рис. 3.8).

(3.28)

и

Передаточные функции такой системы для матема­тического ожидания и случайной составляющей

(3.29)

и

. (3.30)

Соотношение между математическим ожиданием исходного случайного сигнала и выходной переменной в установившемся режиме получим, считая постоянным математическое ожидание стационарной входной пере­менной x(t) в виде

(3.31)

Выражая дисперсию выходной величины системы, на вход которой подается случайная функция х, получим второе уравнение, связывающее неизвестные и .

(3.32)

где — спектральная плотность случайной функции х.

Искомые величины и определяют, решая совместно уравнения для и , какуказано раньше.

При расположении НЭ в прямой цепи после линейной части и с учетом того,что — сигнал на входе НЭ считается выходной величиной, можно записать соответственно (рис. 3.9):

(3.33)

Найдя и , можно определить, как и ранее , и m_z, D_z.

Метод статистической линеаризации может быть применен и к системам с несколькими нелинейными элементами, а также к системам, имеющим многомерные НЭ.

Если несколько нелинейных элементов включены непосредственно друг за другом, то они могут быть заменены одним НЭ с характеристикой, построенной по характеристикам отдельных элементов. Такой НЭ заменяется эквивалентным линейным элементом, параметр которого выражаются через среднее значение и дисперсию сигнала на его входе. Совместное решение двух уравнений позволяет определить значения этих пара­метров.

Если нелинейные элементы разделены инерционными линейными элементами, то для определения значений параметров каждого НЭ приходится решать систему не из двух уравнений, а из числа уравнений, равного удвоенному числу НЭ. Это, естественно, усложняет расчеты.

Рассмотрим несколько примеров влияния НЭ на поведение САУ, работающей в условиях помех, и покажем применение метода статистической линеаризации.

Пример 3.5. На вход нелинейной САУ (рис. 3.6) действует сигнал, состоящий из регулярной составляю­щей ислучайной составляющей, характеризуемой величиной . Передаточная функция линейной части . Определить динамическую ошибку и дисперсию ошибки D_z. Динамическую ошибку рассчитывают, как и для линейной системы, с учетом того, что коэффициент преобразования НЭ принимается равным :

Пpи расчете дисперсии ошибки НЭ учитывается с помощью коэффициента ; следовательно,

где — параметры системы.

Как и для случая линейных систем, можно записать, что

т.е. получаем табличный интеграл.

При графоаналитическом решении точка пересечения кривых, соответствующих уравнениям, дает искомые значения m_z и D_z:

Пример 3.6. САУ состоит из релейного элемента, рассмотренного в примере 3.2 (3.16), и линейной части . Полезный сигнал на входе x(t)=0. Помеха f(t) со спектральной плотностью приложена между НЭ и линейной частью (рис. 3.10).

Определить дисперсию ошибки D_z.

Выражение для ошибки можно записать в виде

где — коэффициент статистической линеаризации.

В соответствии с табличным интегралом

Аналитически рассчитать D_z трудно. Построив графики левой и правой частей выражения в функции от D_z по пересечению полученных кривых можно найти искомое значение D_z. Если релейный элемент будет иметь а=0, то

Для случая нестационарных процессов на входе системы (рис. 3.6) вида (3.1), для которых m_x(t) — медленно изменяющаяся во времени детерминированная (регулярная) составляющая, a x(t) — высокочастотная стационарная случайная составляющая (обычно это помеха), методика применения статистической линеаризации в общем остается той же, но имеет некоторые особенности. Заметим, что случайная и детерминированная составляющие могут представлять собой и самостоятельные внешние воздействия, приложенные в различных точках системы.

Практически часто бывает, что детерминированная медленно меняющаяся составляющая представляет собой задающее воздействие, а высокочастотной составля­вшей является помеха на входе системы. Для исследо­вания процесса отработки системой задающего воздейст­вия в присутствии помех, как указано ранее (рис. 3.6), получают уравнения для центрированной случайной со­ставляющей (3.25) и для математического ожидания детерминированной составляющей (3.24). Так как матема­тическое ожидание сигнала в этом случае непостоянно, то уравнение (3.24) будет иметь вид

(3.34)

где K(D), — алгебраизированная форма записи передаточной

функции линейной части системы, которая

формально сводится к замене .

При решении уравнений (3.34) и (3.25) надо иметь в виду, что наряду с медленным изменением m_x(t) изме­няются во времени и коэффициенты и . Кроме того, последнее уравнение не алгебраическое, а дифференциальное. Так как детерминированная составляющая является медленной по сравнению со случайной, можно для случайной составляющей сигнала считать процесс квазистационарным и полагать коэффициент постоянным. В этом случае, решая уравнение (3.25), находим зависимость D_z от m_z, учитывая которую в выражении для (m_z,D_z) определяем зависимость (m_z) только от m_z. Подставляя (m_z) в уравнение (3.34), получим

(3.35)

По данному нелинейному дифференциальному урав­нению определяют искомый процесс m_z(t). При доста­точно большом значении случайной составляющей нели­нейная зависимость k₀ от m_z вследствие сглаживания нелинейности случайным сигналом проявляется слабо. Поэтому в широком диапазоне изменения т_г можно k₀ принимать постоянной величиной, что облегчает решение уравнения (3.35).

При исследовании САУ методом статистической ли­неаризации предполагается, что система устойчива и в ней отсутствуют незатухающие колебания. Если это ус­ловие не выполняется, необходимо при статистическойлинеаризации учесть прохождение через НЭ этих колебаний, что и осуществляют, применяя совместно статистическую и гармоническую линеаризации.

Контрольные вопросы

1. Каково влияние шумов на динамические свойства системы полезному сигналу?

2. В чем сущность метода статистической линеаризации?

3. Какое основное допущение принимается в методе стати ческой линеаризации?

4. Изложите методику определения статистических коэффициентов усиления нелинейных элементов.

5. В каких случаях применяют метод статистической линеаризации для исследования точности нелинейных систем.

6. Каковы основные источники погрешности метода статистической линеаризации?

Дата добавления: 2015-07-15