Синтез оптимальной системы с конечной памятью

Ранее рассматривался синтез САУ с бес­конечной памятью. У таких систем выходная величи­на y(t) в момент t в общем случае зависит не только от текущего значения входного сигнала , но и от пре­дыдущих его значений, т. е. y(t) в данный момент вре­мени зависит от всех значений в бесконечном интер­вале времени : . Предполагалось также, что задающее воздействие и помеха — это стационарные слу­чайные функции с нулевыми математическими ожида­ниями.

Оптимальные системы, синтезированные только с уче­том обеспечения минимума суммарной СКО от задающе­го воздействия и помех, часто оказываются узкополос­ными, а значит и инерционными. В ряде случаев, кроме требований минимума СКО, к системам предъявляются также требования быстродействия и определенной точно­сти воспроизведения задающего воздействия. Это означа­ет более общую постановку задачи, когда задающее и возмущающее воздействия представляют собой сумму из двух составляющих, одна из которых является заданной, а другая случайной функцией времени, и в этом случае необходимо считаться с ограничением времени наблюде­ния Т. Практически наблюдение и обработка случайных воздействий осуществляется всегда в течение конечного времени, т. е. имеют дело с системами с конечной па­мятью.

Системами с конечной памятью называют такие систе­мы, у которых выходная величина в момент времени t должна зависеть от значений , поступающих на вход системы за конечный промежуток времени , т. е. она должна реагировать на часть вход­ных данных, ограниченных конечным промежутком вре­мени Т.

Следовательно, для систем с конечной памятью харак­терно тождественное равенство нулю импульсной переходной функции с некоторого времени или удовлетворение условию переходной характеристики

.

Синтез оптимальной системы с конечной памятью означает, что ставится задача получения не безусловного минимума СКО, а некоторого условного минимума СКО с учетом выполнения заданных условий определенного времени переходного процесса и ограничения величины ошибки воспроизведения или преобразования задающего воздействия (динамической ошибки).

Рассмотрим синтез системы для случая, когда на ее входе действует сигнал, состоящий из неслучайного мед­ленно меняющегося сигнала x(t) и стационарного слу­чайного сигнала-помехи f(t) в виде белого шума.

Сигнал x(t) представляют в виде нескольких первых членов ряда Тейлора

,

где , , , — любые коэффициенты.

Корреляционная функция помехи .

Алгоритм преобразования системы . Задан­ным является условие

Требуется равенство ошибки нулю , обуслов­ленной воспроизведением медленно меняющегося воздей­ствия x(t), и минимум СКО, обусловленной помехой .

Так как динамическая ошибка

, (2.65)

где выход системы y(t) зависит от входного воздействия x(t) только на протяжении конечного промежутка вре­мени T, то, если разложить воздействие в ряд Тейлора,

, (2.66)

можно записать

(2.67)

Кроме того,

(2.68)

Для обеспечения необходимо выполнение определенных условий, которые должны накладываться на импульсную переходную функцию. Эти условия на ос­нове задания величины коэффициентов ошибки, связан­ных с импульсной переходной функцией, получим из срав­нения (2.67) и (2.68):

,

(2.69)

,

где — моменты импульсной переходной функции.

Таким образом, обеспечение требует выпол­нения условий:

(2.70)

что накладывает на импульсную переходную функцию k₀(t) ограничения.

Дисперсию ошибки от помех определим с учетом того, что :

, (2.71)

где .

По условию задачи

.

Тогда искомая дисперсия ошибки от помех

. (2.72)

Имея (2.72) иусловия (2.70), можно составить выра­жение для условного минимума СКО в соответствии с методом Лагранжа:

(2.73)

где — неопределенные множители Лагранжа.

Найдем минимум выражения (2.73), определяя :

;

откуда

; (2.74)

т. е. импульсная переходная функция должна представ­лять собой степенной полином от :

, (2.75)

где

; .

Получив значения моментов импульсной переходной функции согласно условиям (2.69), определяем коэффи­циенты полинома задающего воздействия. Подставив по­следние в выражение (2.75), найдем оптимальную им­пульсную переходную функцию .

Пример 2.7. Определить оптимальную импульсную переходную функцию системы при условии, что ; это требует обеспечения условий и . При этом оптимальная импульсная переходная функция

,

где и — неизвестные коэффициенты.

Вычислим моменты импульсной переходной функции:

и

.

Решение полученной системы уравнений с двумя неиз­вестными найдем в виде

; ,

где

; ; .

Оптимальная импульсная переходная функция

реализуется путем приближенной аппроксимации (рис. 2.8). В диапазоне и импульсная переход­ная функция системы равна нулю и графически изобра­жается отрезком прямой в интервале и осью абсцисс вне этого интервала.

Пользуясь соотношением между импульсной переходной функцией и передаточной функцией

можно определить передаточную функцию оптимальной системы

.

Рис. 2.8. Импульсная переходная функция оптимальной системы

В соответствии с полученным выражением можно по­строить логарифмические частотные характеристики оп­тимальной системы, с помощью которых решаются практические задачи синтеза системы.

Дисперсия ошибки управления

.

Если требуется синтезировать систему, исходя из усло­вия минимума СКО при двух случайных стационарных воздействиях х и f, приложенных в одной точке системы, то задача сводится к отысканию минимума

(2.76)

при выполнении условия .

В уравнении (2.76) воздействие

;

— требуемый закон изменения переменной ,

, (2.77)

где — предписанное значение импульсной пере­ходной функции. Определение минимума СКО (2.76) при условии является вариационной задачей и приводит к импульсной переходной функции, которая удовлетворяет интегральному уравнению

; (2.78)

Решение уравнения (2.78) приведено в [2]. Выполнение требования вызывает увеличение СКО от воз­действий x(t) и и приводит к нереализуемой системе в связи с необходимостью создания системы -го порядка астатизма.

При известных коэффициентах , ,...воздействия x(t) синтез системы можно выполнить, не накладывая условия , что дает меньшую величину СКО и значительно более простую реализацию системы.

Значение (2.68) при заданных коэффициентах воздействия x(t) может быть ограничено величинами ко­эффициентов . Это означает, что ди­намическая ошибка не будет превышать некоторого наперед заданного значения , т. е.

, ,

если выбрать соответствующие значения коэффициен­тов .

Определение условий минимума СКО в этом случае производится аналогично приведенному ранее с учетом ограничения на импульсную переходную функцию (2.69). Обычно найденные оптимальные характеристики системы реализуются с тем или иным приближением. Более подробно синтез САУ с конечной памятью изложен в работе В. В. Солодовникова [2].

Контрольные вопросы

1. Назовите условия решения задачи синтеза при произвольной структуре.

2. Какова сущность физической реализуемости оптимальной пе­редаточной функции?

3. Каков порядок определения оптимальной передаточной функ­ции физически осуществимой САУ?

4. Объясните сущность синтеза САУ с конечной памятью.

Дата добавления: 2015-07-15