Некоторые особенности анализа и синтеза нестационарных САУ при случайных воздействиях

Полученные ранее зависимости для ста­ционарных систем, т. е. систем с постоянными параметра­ми, могут быть использованы при анализе и синтезе не­стационарных систем и нестационарных входных воздей­ствиях.

Нестационарной, или системой с переменными пара­метрами называют такую систему, параметры которой изменяются во времени по детерминированному или слу­чайному закону (здесь рассматриваются системы с де­терминированными параметрами). Характеристики неста­ционарных систем зависят от времени.

Так, импульсная переходная функция нестационарной системы представляет собой реакцию на выходе системы в момент t при воздействии на ее входе в момент импульса в виде - функции , при нулевых на­чальных условиях (а не или , как для ста­ционарной системы).

При известной импульсной переходной функции и ну­левых начальных условиях

,

где — момент возникновения входного воздействия, т. е.

при .

Импульсная переходная функция нестационар­ной системы связана с частотной характеристикой преобразованием Фурье

. (2.79)

Так как система имеет переменные параметры, то является функцией не только частоты, но и вре­мени .

Пользуясь преобразованием Лапласа, при котором изображение входного сигнала

, (2.80)

получим выражение для выходного сигнала:

. (2.81)

где

(2.82)

В формулах (2.81), (2.82) — параметрическая передаточная функция нестационарной системы, получае­мая из частотной характеристики заменой на р.

Точное определение импульсной переходной функции возможно лишь для простейших случаев. В общем случае находят аналитически приближенно или с по­мощью моделирования. В практике иногда встречается более простая задача, не требующая знания импульсной переходной функции во всем диапазоне изменения време­ни. Это имеет место, когда необходимо определить реак­цию на выходе системы в некоторый фиксированный момент времени , т. е.

. (2.83)

где — значение импульсной переходной функции в момент .

Рассмотрим особенности прохождения случайных сигналов через нестационарные системы.

Полагая, что — нестационарный случайный про­цесс, состоящий в общем случае из детерминированной и случайной составляющих:

(2.84)

и учитывая линейность системы, параметры которой бу­дем считать изменяющимися по детерминированному за­кону, на выходе системы будем иметь сигнал, равный

, (2.85)

где и — соответственно математическое ожи­дание и случайная составляющая сигнала на выходе системы.

В связи с предположением о детерминированном зако­не изменения параметров системы во времени возможно независимое рассмотрение прохождения составляющих входного воздействия. Поэтому математическое ожида­ние и случайная составляющая на выходе системы могут быть найдены по формулам

; (2.86)

(2.87)

Корреляционная функция выходного случайного сиг­нала определяется аналогично (1.56), но зависит от и , а не только от , т. е.

, (2,88)

где — корреляционная функция входного сигна­ла, получаемая из заменой переменных и соответственно на и .

Нижний предел интегрирования означает, что про­цесс на входе появляется в момент t=t₀. Дисперсия выходного сигнала

. (2.89)

В случае воздействия на систему в момент стационарного белого шума с корреляционной функцией.

или при указанной замене переменных

дисперсия выходного сигнала

(2.90)

Если белый шум при стационарен, т.е. , дисперсия

(2.91)

Для стационарного входного воздействия дисперсию выходного процесса целесообразно определять, пользуясь спектральным методом:

(2.92)

где — нестационарная параметрическая передаточная функция;

(2.93)

В установившемся режиме при или нестационарная параметрическая передаточная функция совпадает с параметрической функцией .

При определении дисперсии в моменты времени, превышающие длительность импульсной переходной функции , возможна замена на .

Дисперсию и корреляционную функцию в установившемся режиме можно находить в соответствии с выражениями

(2.94)

(2.95)

где —комплексно-сопряженное с зна­чение.

Определение оптимальной импульсной переходной функции нестационарной системы рассмотрено в работе А. В. Солодова*.

При заданных корреляционной функции входного сигнала и взаимной корреляционной функции предписанного выходного и входного сигналов, равных нулю математических ожиданий задающего воздействия и помехи интегральное уравнение имеет вид

(2.96)

где

В этой формуле и соответственно корреляционная функция входного сигнала и взаимная корреляционная функция между и предписанным значением , у которых произведена замена аргументов.

Пределы интегрирования указывают, что наблюдение начинается в момент , чем учитывается нестационарный процесс, вызванный включением в момент самой системы или появлением в этот момент входного сигнала .

Точное решение обобщенного уравнения, частным случаем которого является уравнение (2.59), удается получить лишь для некоторых видов корреляционных функций и . Однако возможно применение приближенных методов численных решений уравнения (2.96) и нахождение оптимальной импульсной переходной функции.

При выполнении условия (2.96) средний (по реализациям ) квадрат ошибки будет минимальным в каждый момент времени

(2.97)

Определение оптимальной нестационарной системы по минимуму СКО возможно и в частотной области, за исключением того, что в данном случае приходится иметь дело со спектральной плотностью нестационарного процесса, характеризуемого корреляционной функцией . Конечная формула для определения оптиимальной параметрической передаточной функции имеет вид

(2.98)

где

; (2.99)

и — комплексно – сопряженные функции, одна из которых имеет полюса в верхней, а другая в нижней полуплоскости , являющиеся сомножителями выражения для спектральной плотности входного сигнала.

Взаимная спектральная плотность

(2.100)

Из (2.98) следует, что в общем случае даже при стационарном входном сигнале оптимальная система не стационарна из-за зависимости ее частотной характеристики от времени.

Если потребовать, чтобы наряду с минимумом СКО обращалась в нуль и динамическая ошибка, то необходимы дополнительные условия на импульсную переходную функцию.

Контрольные вопросы

1. Почему при прохождении через линейную систему с детерминировано изменяющимися параметрами детерминированную и случайную составляющие можно рассматривать независимо и применять формулы (2.86) и (2.87)?

2. Докажите, что между дисперсией и корреляционной функцией нестационарного случайного процесса справедливо соотношение

Дата добавления: 2015-07-15