Вопрос 2. Аналоговое моделирование физических полей. Коэффициенты аналогии, индикаторы аналогии.

3.2.2. Особенности построения моделей

Введем понятия сходственных величин, коэффициентов
аналогии, индикаторов аналогии, используемые при доказательстве аналогии объектов.

Каждое из уравнений, приведенных в табл. 3.1, включает в себя четыре величины, занимающие в этих уравнениях одинаковые позиции. Это потенциальная функция (T, U, U_r, U_м, φ…), характеристика среды (λ, ε, ρ, μ, σ...), мощность распределенных источников поля (w, q, q_r, i...) и, наконец, геометрический масштаб модели (L, l). Величины, занимающие в уравнениях одинаковые позиции, называются сходственными величинами, а для характеристики их отношений вводятся коэффициенты аналогии:

С помощью коэффициентов аналогии можно выразить и заменить величины изучаемого (например, температурного) поля величинами модельного (электрического) поля:

Тогда уравнение для стационарного температурного поля (см. табл. 3.1) можно записать в виде

Важно подчеркнуть, что уравнение по-прежнему остается уравнением теплопроводности, ведь изменилась только форма записи тепловых величин (Т, К, ω, L). Вместе с тем уравнение теплопроводности в приведенной форме полностью совпадает с уравнением электрического поля при условии, что

Данное соотношение выражает условие аналогии натур­ного и модельного (в рассматриваемом примере температурного и электрического) полей и носит название индикатора аналогии. При практических расчетах неудобно пользоваться вели­чиной точечной мощности распределенных источников поля

ω(ξ^r,Т), i(ξ^r,φ). Целесообразно заменить эту величину некоторой сосредоточенной величиной (W, I) характеризующей мощность источников (тепло- и токовыделение) в некотором элементар­ном объеме (V_, v):

Индикатор аналогии может быть представлен в виде

Отношение величин W и I характеризуется коэффициентами аналогии M_I и M_i:

Соотношения (3.18) и (3.22), в частности, показывают, что три коэффициента аналогии из четырех могут быть выбраны произвольно, а четвертый должен быть определен из этих соотношений. В рассмотренном случае имеется один индикатор ана­логии. Вообще же количество индикаторов аналогии на единицу меньше числа членов изучаемого уравнения в силу известной π-теоремы Кирпичева.

Для однородного эллиптического уравнения коэффициенты аналогии (3.13) могут быть просто сокращены. Это значит, что для полей без распределенных источников аналогия соблю­дается автоматически, а коэффициенты аналогии не связаны между собой.

Дата добавления: 2015-07-15