Компонентные уравнения.

Состояние простого элемента характеризуется одной фазовой переменной типа потока и одной переменной типа потенциала. Физическое свойство элемента (закон его функциони­рования) описывается математической моделью, выражающей зависимость между этими фазовыми переменными. Это выраже­ние называют компонентным уравнением.

Основные физические свойства технических объектов любой физической природы - инерционные, упругие и диссипативные. Они отображаются в динамических моделях соответст­венно инерционными, упругими и диссипативными элементами.

Компонентные уравнения дискретных элементов могут быть получены аппроксимацией моделей микроуровня или не­посредственным использованием физических законов.

Аппроксимация моделей микроуровня осуществляется путем замены всех частных производных фазовых переменных по пространственным координатам отношениями конечных разностей с выделением сосредоточенных масс в узлах дискретиза­ции сплошной среды и усреднением значений параметров полу­чаемых элементов [20].

Будем рассматривать компонентные уравнения, полученные на основе физических законов, которые имеют следующий вид:

В уравнениях (2.16) - (2.18) приняты следующие обозначения: И, Д, У - параметры инерционного, диссипативного и упругого элементов соответственно; I — фазовая переменная хина потока; U— фазовая переменная типа потенциала. Индексы при фазовых переменных I и U указывают на принадлежность их соответствующим элементам; t - время.

2. Топологические уравнения

Для получения полной математической модели технической системы требуется объединение всех компонентных уравне­ний элементов в общую систему уравнений. Объединение осуще­ствляется на основе физических законов, выражающих условия равновесия и непрерывности фазовых переменных. Уравнения этих законов и называют топологическими уравнениями.

Топологические уравнения устанавливают связь между однородными фазовыми координатами, относящимися к различным элементам системы. Они получаются на основе сведе­ний о структуре системы и описывают характер взаимодействия между простыми элементами.

Условия равновесия записываются для фазовых переменных типа потенциала:

а условия непрерывности - для фазовых переменных типа потока

Если фазовые переменные - векторные величины, то направления векторов учитываются только топологическими уравнениями, а в компонентных уравнениях их направления не учитываются. Компонентные уравнения (2.6)-(2.8) в этом случае устанавливают соотношения лишь между модулями фазовых переменных. Это позволяет обеспечить корректное описание взаимодействия элементов системы в полной математической модели.

Вопрос 2. Элементы теории графов: основные понятия и определения.

Общие замечания, основные понятия и определения

Графы представляют собой наиболее абстрактную структуру, с которой приходится сталкиваться в курсах математической логики, дискретной математики, теории сетей связи. Любая система, предполагающая наличие дискретных состояний или узлов и переходов между ними, может быть описана графом.

Граф - это совокупность вершин (узлов) и связывающих их ребер (ветвей). Графы отображаются на плоскости набором точек и соединяющих их линий или векторов. При этом ветви могут отображаться и кривыми линиями, а их длина не играет никакой роли. Граф называется ориентированным (или орграфом), если некоторые ребра имеют определенное направление. Это означает, что в орграфе некоторая вершина может быть соединена с другой вершиной, а обратного соединения нет. Ребра орграфа называются дугами.

Смежные вершины графа - вершины, инцидентные одному и тому же ребру (принадлежащие одному ребру). Ребро графа определяется парой вершин. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине (у которых есть общая вершина), также называются смежными (или соседними).

Математически граф G можно описать упорядоченной парой множеств N и A:

где N - непустое множество, называемое множеством вершин; А -множество ребер, отражающее отношение между вершинами.

Часть графа - граф, образованный из исходного удалением некоторых вершин и ребер. Подграф - часть графа, образо­ванная некоторым подмножеством ребер и всеми инцидентными им вершинами. Суграф - часть графа, образованная удалением из исходного графа некоторых ребер.

Петлёй называется ребро, концевые точки которого совпадают. Степенью (валентностью) вершины называется число инцидентных ей ребер. Кратностью пары вершин называется число соединяющих их ребер.

Маршрут в графе - это последовательность смежных ре­бер (в этом случае ребра приобретают направление). Ясно, что можно определить маршрут и как последовательность смежных вершин. Маршрут называется циклом, если в нем первая вершина совпадает с последней.

Путь в графе - это маршрут без повторения вершин (а значит, и ребер). Т.е. путь - это последовательность дуг, в которой конечный узел каждой дуги является в то же время начальным узлом следующей дуги.

Цепь - маршрут, в котором все ребра различные. Замкнутая цепь является циклом. Т.е. цепь - это последовательность дуг, в которой каждая промежуточная дуга соединена с предше­ствующей концом или началом. Двигаясь вдоль цепи, можно пройти дугу в направлении, противоположном ее ориентации. Дуги, проходимые в направлении ориентации, называются пря­мыми дугами цепи, остальные - обратными дугами.

Контур - это цикл без повторения вершин, за исключением первой вершины, совпадающей с последней.

Граф является связным, если можно указать маршрут, охватывающий все вершины.

Сетью называется связный граф, в котором заданы «пропускные способности» ребер, т.е. числа с_ij. Это неотрицательные числа, причем с_ij = О тогда и только тогда, когда нет ребра, со­единяющего вершины i и j.

Дерево графа - связный граф, не имеющий циклов.

Фундаментальное дерево (остов) — связный граф, не имеющий циклов.

Примеры графа, подграфа, суграфа и фундаментального дерева представлены на рис. 5.1.

Ветви дерева - ребра графа, вошедшие в дерево. Хорды - ребра графа, не вошедшие в дерево.

Дата добавления: 2015-07-15