Синтез оптимальной нелинейной системы с заданной структурой

Предположим, что система может быть представлена структурной схемой, приведенной на рис. 3.20 [22]. На этой схеме линейные звенья coединены последовательно с безынерционными нелинейными элементами , характеристики которых ста­тистически линеаризуются.

Рис. 3.20. Блок-схема нелинейной системы

Задающее воздействие, со­стоящее из неслучайной функции времени x(t) и случайной составляющей полезного сигнала m(t), и слу­чайная помеха приложены в одной точке. Необходимо по известным корреляционным функциям , , времени Переходного процесса Т, характеристикам не­линейных элементов и передаточным функциям найти импульсную переходную функцию системы при условии обеспечения минимума СКО и среднего значения ошибки в установившемся состоянии, равного заданной постоянной величине m_z.

На основе метода статистической линеаризации вы­ходные сигналы нелинейных элементов можно предста­вить выражением

(3.73)

где

и — статистические коэффициенты усиления;

—математические ожидания и диспер­сии сигналов на

входе -го нелинейно­го элемента;

— случайная составляющая сигнала на входе нелинейности.

При известных статистических коэффициентах усиле­ния для среднего значения и случайной составляющей выходной величины в установившемся режиме, когда САУ является линейной стационарной системой, переда­точные функции соответственно равны:

где

Полагаем, что соответствует импульсная пере­ходная функция k(t). Выражение для СКО найдем в со­ответствии с формулой

(3.75)

Обеспечение заданной постоянной величины накла­дывает на импульсную переходную функцию k(t) опреде­ленные ограничения. Задачу можно решить, обеспечивая минимум функционала:

(3.76)

где — неопределенные множители Лагранжа;

— моменты импульсной переходной функции, опре­деляемые при

заданном Т формулой (2.69).

Величина m_z может быть представлена рядом ошибки (2.68). Коэффициенты этого ряда выбирают по заданным условиям.

Для данной задачи , а берут из технических условий.

Преобразование Лапласа от среднего значения сигна­ла ошибки

(3.77)

где

В установившемся состоянии оригинал выражения (3.77) имеет вид

(3.78)

Разлагая в ряд , получим (2.66). Используя ряд (2.68) и (3.78), можно получить тождественные ра­венства. При =0

, (3.79)

а при >0

(3.80)

Из приведенных формул находим ограничения на мо­менты импульсной переходной функции k(t):

В [2] показано, что для минимума выражения (3.76) необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла интегральному уравнению

(3.81)

Если предположить, что спектральная плотность ста­ционарных случайных сигналов аппроксимируется выра­жением

(3.82)

то решение интегрального уравнения (3.81) с учетом (3.82) будет иметь вид

(3.83)

где — корни характеристического уравнения ,

и —комплексно-сопряженные и соответственно.

Коэффициенты являются функциями отношения коэффициентов статистической линеаризации d. Окончательно коэффициенты можно най­ти, например, методом последовательных приближений. Для нахождения и необходимо определить аналити­ческие выражения и как функции и . Зада­ются значениями и и находят и после чего на основании этих найденных значений определяют новые значения и и так до тех пор, пока отклонения не войдут в допустимую норму.

Дата добавления: 2015-07-15