Функций и спектральных плотностей

Задача 1 [‡] *. Определить корреляцион­ную функцию и спектральную плотность для величины, изменяющейся по гармоническому закону:

Амплитуда А =10 и угловая частота . Убе­диться, что интегрирование спектральной плотности по всем частотам, а также значение дают средний квадрат (в данном случае он равен дисперсии) рассмат­риваемой величины.

Решение. Корреляционная функция

где При подстановке числовых значений получим ; .

Спектральная плотность

где и — единичные импульсные функ­ции,

расположенные при часто­те и .

Интегрирование спектральной плотности по всемчастотам дает

Интегралы от единичных импульсных функций равны единице:

В результате получим

Задача 2. В результате обработки осциллографа стационарного случайного процесса с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю, получено выражение для корреляционной функции

где — дисперсия и — параметр затухания.

Определить спектральную плотность.

Решение. Спектральная плотность

Удобно представить интеграл в виде двух слагаемых

где

В численном виде

Задача 3. Решить задачу 2, если рассматриваемый стационарный случайный процесс имеет среднее значе­ние (математическое ожидание) .

Решение. Средний квадрат случайной величины

Корреляционная функция

т. е. имеет постоянную составляющую. Спектральная плотность

где — единичная импульсная функция.

Задача 4. На вход линейной системы, описываемой уравнением

поступает случайный сигнал с корреляционной функцией

Найти дисперсию сигнала на выходе системы.

Решение. Спектральная плотность сигнала на входе системы

Разобьем этот интеграл на два:

Частотные характеристики системы

и .

Спекральная плотность сигнала на выходе системы

.

Дисперсия сигнала на выходе системы

.

Задача 5. На вход инерционного звена поступает стационарный сигнал типа белого шума .

Найти дисперсию сигнала на выходе.

Решение. Спектральная плотность на выходе инерционного звена

.

Дисперсия сигнала на выходе звена

.

Задача 6. На входе САУ с передаточной функцией деиствует случайный сигнал корреляционная функция которого

Параметры системы и сигнала имеют следующие значения:

сек; сек ; ; .

Определить корреляционную функцию выходного сигнала .

Решение. Для определения корреляционной функции выходного сигнала

нужно найти импульсную переходную функцию системы

где -полюс характеристического уравнения замкнутой системы.

Имея в виду, что

,

характеристическое уравнение можно записать как

,

и, следовательно, ,

Импульсная переходная функция

Корреляционная функция выходного сигнала в соответствии с формулой (1.56) при

.

Так как -четная функция, то при она будет иметь такой же вид, т.е.

Дата добавления: 2015-07-15