Передаточных функций САУ

Задача 7. Передаточная функция разомкнутой САУ

,

где сек -коэффициент преобразования системы, -постоянная времени корректирующего устройства.

На входе системы действует полезный регулярный сигнал

,

Где град сек ; град сек , и помеха в виде белого шума со спектральной плотностью град гц .

Определить постоянную времени корректирующего устройства, при которой средний квадрат суммарной ошибки минимальный, а также значение среднеквадратичной ошибки.

Решение. Установившееся значение ошибки от полезного сигнала

,

Где и -коэффициенты ошибки. В астатической системе второго порядка

и .

Следовательно, регулярная составляющая ошибки

или

.

Средний квадрат флуктуационной ошибки может быть найден с помощью табличного интеграла:

.

Средний квадрат суммарной ошибки

.

Найдем . Следовательно,

откуда находим

Среднеквадратичная ошибка

Задача 8. На вход системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии

,

поступает аддитивная смесь полезного задающего воздействия и по-

меха с характеристикой ,

где .

Необходимо рассчитать динамическую ошибку, определить дисперсию случайной ошибки. Средний квадрат суммарной ошибки и найти завис-имость суммарной ошибки от коэффициента преобразования системы .

Решение. Для определения дисперсии случайной ошибки находим:

;

;

.

Тогда:

; ; ;

; ; ; ;

.

При

.

Для определения динамической ошибки находим передаточную функцию ошибки

Коэффициент ошибки:

; .

Составляющие входного сигнала:

; .

Динамическая ошибка ; .

Средний квадрат суммарной ошибки

.

Задача 9. Решить задачу, если

,

Где

сек ; сек.

Решение.

сек.

Среднеквадратическая ошибка

.

Задача 10. Решить задачу 7, пологая, что возможно изменение постоянной времени корректирующего устройства T и коэффициента преобразования

Решение. Приравнивая частные производные от суммарной ошибки нулю,

получаем два условия минимума:

и .

Решая совместно полученные уравнения, находим

сек

Постоянная времени корректирующего звена

сек.

Среднеквадратическая ошибка

Задача 11. Определить полосу шумов для системы с передаточной функ-

цией в разомкнутом состоянии, равной

.

В соответствии с (1.98)

.

Задача 12. Рассчитать средний квадрат суммарной ошибки системы, состоящей из двух последовательно соединенных контуров (рис.4.1.) – так иногда можно представить схему наведения ракеты.

Решение. На рис. 4.1: -закон изменения задающего воздействия, имеющего спектральную плотность ; -возмущающее воздействие, приведенное ко входу первого контура и имеющее спектральную плотность

; -передаточная функция разомкнутого первого контура;

-передаточная функция разомкнутого второго контура.

Исходя из того, что

; ;

,

Находим передаточные функции ошибки:

.

Спектральная плотность ошибки

а среднее значение квадрата суммарной ошибки от воздействия задающего сигнала и помехи

.

Задача 13. На входе системы с передаточной функцией дей-

ствует помеха в виде белого шума со спектральной плотностью и

полезный сигнал со спектральной плотностью

.

Корреляция между помехой и полезным сигналом отсутствует. Параметры имеют следующие значения: сек; сек; град ; град

гц .

Определить оптимальное значение коэффициента преобразования ,со-ответствующее минимуму средне квадратичной ошибки, и значение ошибки

при .

Решение. Составляющая среднего квадрата ошибки от помехи

.

Составляющая среднего квадрата ошибки от полезного сигнала

.

Результирующий средний квадрат ошибки

.

Приравниваем нулю производную последнего выражения по коэффициенту преобразования

и находим

,

или

сек

Среднеквадратическая ошибка

.

Задача 14. Найти оптимальную передаточную функцию САУ, приведен-

ной в задаче 13, и соответствующую ей среднеквадратическую ошибку.

Решение. Вычисляем:

Для данного случая

.

Разложим полученное выражение на комплексно сопряженные множители:

.

Следовательно

,

,

где

; .

Находим

Разложим это выражение на простые слагаемые:

.

Отбрасываем члены с полюсами, расположенными в правой полуплоскости

и выделяем физически реализуемую часть:

.

Оптимальная передаточная функция физически реализуемой системы

.

Численные значения коэффициентов

сек

Окончательное выражение для оптимальной передаточной функции замкнутой системы

Соответствующая передаточная функция разомкнутой системы

,

где

сек .

Передаточная функция ошибки

.

Спектральная плотность ошибки

.

Средний квадрат ошибки

.

Среднеквадратическая ошибка

.

Дата добавления: 2015-07-15