Решение. а) Функция не определена при

а) Функция не определена при . Вычислим предел функции в этой точке, заменяя на эквивалентную бесконечно малую. Получим:

.

Чтобы новая функция была непрерывна в точке , в этой точке следует назначить ей значение .

Ответ:

б) Функция не определена при . Вычислим ее пределы слева и справа в этой точке. Используя соотношения (8.4) и (8.3) для замены на эквивалентные бесконечно малые функции, получим:

,

.

Следовательно, по теореме 5.1 в точке существует предел: . Именно этим числом следует доопределить функцию так, чтобы новая функция была непрерывна в точке .

Ответ:

Задача 3. Функция определена следующим образом:

Найти значения параметров и так, чтобы функция была непрерывна для всех .

Решение. Функция на каждом из интервалов своего задания является непрерывной. Она может терпеть разрыв лишь в точках и , в которых изменяется формула, определяющая функцию. Вычислим пределы слева и справа в этих точках и приравняем их:

,

,

,

.

Следовательно, значения и должны удовлетворять системе

имеющей решение , .

Ответ:

Литература

1. Верещагин Н.К., Шень А. Начала теории множеств: в 2 ч. – изд. 2-е, испр. – М.: Моск. центр непрерыв. математ. обр., 2002. – Ч. 1 - 121 с.

2. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу: в 2 т. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2003. – Т. 1 - 495 с.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие. – СПб.: Профессия, 2003. - 432 с.

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1990. - 624 с.

5. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: в 2 т. - М.: Изд-во физ-мат. лит., 2005. – Т. 1 - 400 с.

6. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике: в 3 ч. - изд. 6-е стереотипное. - М.: Айрис Пресс, 2006. - 281 с.

Оглавление

Введение. Множества и операции

над ними………………………………………………………………..3

§ 1. Функция………………………………………………………………..8

§ 2. Бесконечно малые функции………………………………………….26

§ 3. Свойства бесконечно малых функций………………………………32

§ 4. Бесконечно большие функции……………………………………….39

§ 5. Предел функции……………………………………………………....45

§ 6. Теоремы о вычислении

предела функции. Неопределенности………………………………..53

§ 7. Замечательные пределы………………………………………………70

§ 8. Сравнение бесконечно малых.

Эквивалентные бесконечно малые…………………………………..75

§ 9. Непрерывность функции……………………………………………..93

Литература……………………………………………………………….102

У ч е б н о е и з д а н и е

Дата добавления: 2015-07-11