Вычисление пределов степенно-показательных функций

Пусть функции и заданы на множестве и функция на нем положительна. Функция

называется степенно - показательной.

Предположим, что – точка сгущения множества и существуют конечные пределы

, ,

где . Нужно найти

.

Воспользовавшись тождествами , запишем исходное выражение в виде

.

В силу теоремы 6.1 получим

.

При заданных значениях пределов будем иметь

.

Из проведенного рассуждения видно, что предположение о существовании конечных пределов и можно отбросить. Действительно, для нахождения предела выражения достаточно знать предел произведения (конечный или бесконечный).

1) Пусть . Тогда .

2) Если , то .

3) Если , то .

Заметим, что произведение может оказаться неопределенностью типа . Тогда и исходное выражение представляет собой неопределенность. Перечислим возникающие здесь неопределенности.

1) Если , то вычисление предела приводит к неопределенности типа .

2) Если , то вычисление предела приводит к неопределенности типа .

3) Если , то вычисление предела приводит к неопределенности типа .

Во всех указанных случаях (, , ) можно раскрыть неопределенность в показателе степени, преобразуя ее к типу и используя соответствующие эквивалентные бесконечно малые.

Замечание 8.3. Приведенные выше рассуждения справедливы и для вычисления предела степенно-показательной функции в бесконечно удаленной точке: .

Пример 8.2. Вычислить .

Решение. Здесь , , поэтому имеем неопределенность типа . Преобразуем выражение под знаком предела:

.

В показателе степени имеем неопределенность типа . Заменой при на эквивалентную бесконечно малую раскрываем ее:

.

Таким образом,

.

Замечание 8.4. Аналогично доказывается равенство .

Пределы

,

образуют две формы одного и того же равенства, которое также является замечательным пределом и часто служат определением числа .

Дата добавления: 2015-07-11