Непрерывность функции. Определение 9.1

Определение 9.1. Пусть функция имеет область задания , определена в точке и в некоторой окрестности этой точки (). Говорят, что функция непрерывна в точке , если существует и

.

Заметим, что в силу теоремы 6.1 все основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.

Из теоремы 6.2 вытекает

Теорема 9.1. Пусть функции и заданы на множестве и непрерывны в точке . Тогда в этой точке непрерывны функции

, и , если .

Обратимся теперь к сложной функции.

Теорема 9.2. Пусть функция задана на множестве , а функция задана на множестве , причем значения . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Зададимся произвольным числом и укажем такое число , что для любого , для которого будет выполнено условие . Поскольку непрерывна в точке , то для данного числа можно указать такое число , что для всех , для которых , будет выполнено условие . Тогда для всех , для которых , будет выполнено также условие . Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-11