Доказательство. Необходимость

Необходимость. Покажем, что из существования конечного предела функции в точке следует существование ее односторонних пределов в этой точке и равенство их друг другу. Пусть существует . Это означает, что для произвольного числа можно указать такое число , чтонеравенство будетвыполнено для всех . Следовательно, неравенство будет выполнено как для всех , так и для всех . Таким образом, существует и существует .

Достаточность. Покажем, что из существования и равенства односторонних пределов в точке следует существование предела функции в этой точке. Пусть и . Это означает, что, задавшись произвольным , по нему можно найти такие два числа и , что для всех и будет выполнено неравенство . Пусть . Указано такое , что неравенство будет выполнено какдля всех , так и для всех . Таким образом, для всех выполненонеравенство , то есть . Теорема доказана.

Роль пределов справа и слева в бесконечно удаленной точке играют пределы «при , стремящемся к » и «при , стремящемся к ». Дадим соответствующее определение.

Определение 5.4. Число называется пределом функции при , стремящемся к (), если для любого положительного числа найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству () выполнено

.

Соответствующие обозначения таковы:

().

Дата добавления: 2015-07-11