Доказательство. 1. Для любых a,b ϵ имеем a,b ϵ U1, , a,b ϵ Uk ; так как Ui – подпространство

1. Для любых a,b ϵ имеем a,b ϵ U₁,…, a,b ϵ U_k ; так как U_i – подпространство, то для любых α,β ϵ F справедливо αa+βb ϵ U₁,…, αa+βb ϵ U_k, αa+βb ϵ , то есть, – подпространство.

2. Для любых a,b ϵ имеем a = a₁ + … + a_k, b = b₁ + … + b_k, a_i,b_i ϵ U_i ; так как U_i – подпространство, то для любых α,β ϵ F справедливо αa_i+βb_i ϵ U₁, αa+βb = α⋅ + β⋅ = + ϵ , то есть, – подпространство. ■

Теорема. Пусть U₁, U₂ – подпространства V. Тогда dim(U₁+U₂) = dimU₁ + dimU₂ – dim(U₁⋂U₂).

Доказательство. Пусть dimU₁ = n₁, dimU₂ = n₂, dim(U₁⋂U₂) = m.

1. Пусть базисом U₁⋂U₂ является a₁,…, a_m. Так как (U₁⋂U₂) ⊆ U₁, мы можем дополнить базис a₁,…, a_m до базиса U₁ с помощью b₁,…, b_k ϵ U₁, k+m = n₁. Аналогично, дополним a₁,…, a_m до базиса U₂ с помощью c₁,…, c_l ϵ U₂, l+m = n₂.

2. Пусть u₁+u₂ = u ϵ U₁+U₂, u₁ ϵ U₁, u₂ ϵ U₂. Тогда

u₁ = + , α_i,β_i ϵ F

u₂ = + , γ_i,δ_i ϵ F

u = u₁ + u₂ = + + ,

u ϵ L(a₁,…, a_m, b₁,…, b_k, c₁,…, c_l),

то есть, U₁+U₂ = L(a₁,…, a_m, b₁,…, b_k, c₁,…, c_l).

3. Пусть + + = 0, где α_i,β_i,γ_i ϵ F. Тогда + = – = x, откуда получаем x ϵ U₁, x ϵ U₂, то есть x ϵ (U₁⋂U₂), x = – = , δ_i ϵ F. Тогда + = 0, т.е. δ_i = 0, γ_i = 0. Следовательно, x = 0, + = x = 0, т.е. α_i = 0, β_i = 0. Тогда dim(U₁+U₂) = m + k + l = (m+k) + (m+l) – m = dim(U₁) + dim(U₂) – dim(U₁⋂U₂). ■

Линейные отображения и матрицы.

(21) Пространство линейных отображений L(U,V) и пространство матриц M_m,n(ℝ).

Отображение ϕ: U → V называется линейным, если для него справедливо ϕ(α⋅x + β⋅y) = α⋅ϕ(x) + β⋅ϕ(y) для α,β ϵ F, x,y ϵ U.

Множество линейных отображений вида ϕ: U → V называется пространством линейных отображений, обозначается L(U,V), на нем определены следующие операции:

1. (ψ + ϕ)(x) = ψ(x) + ϕ(x) для любых ψ,ϕ ϵ L(U,V)

2. (α⋅ϕ)(x) = α⋅ϕ(x) для любых α ϵ F, ϕ ϵ L(U,V)

Лемма. L(U,V) с заданными операциями – векторное пространство.

Дата добавления: 2015-07-11