Доказательство.

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

2012-2013

Й семестр

Векторные пространства. Матрицы и определители

Поле комплексных чисел.

(1) Алгебраическая операция, поле.

Бинарным отношением на множестве A называется произвольное подмножество R ⊆ A×A.

Это отношения равенства, неравенств (строгого и нестрогого), сравнения по модулю и т. д. Если R – бинарное отношение на множестве A и два элемента a,b ϵ A связаны этим отношением, то пишется aRb (например, a < b).

Пусть R – бинарное отношение на множестве A. Тогда отношение R:

1. рефлексивно, если для любого a ϵ A имеет место aRa;

2. транзитивно, если для любых a,b,c ϵ A, таких, что aRb и bRc, имеет место aRc;

3. симметрично, если для любых a,b ϵ A из aRb следует bRa;

4. антисимметрично, если для любых a,b ϵ A из aRb и bRa следует a=b.

Непустое множество F называется полем, если на нем заданы две ассоциативные коммутативные бинарные операции + (сложение) и ⋅ (умножение) такие, что:

1. ∃ 0 ϵ F: ∀ a ϵ F a + 0 = 0 +a = a;

2. ∀ a ϵ F ∃ b ϵ F a + b = b + a = 0, (b = –a);

3. ∃ (0≠)1 ϵ F: ∀ a ϵ F a⋅1 = 1⋅a = a;

4. ∀ (0≠)a ϵ F ∃ b ϵ F a⋅b = b⋅a = 1, (b = a^-1);

5. ∀ a,b,c ϵ F (a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c.

(2) Поле комплексных чисел: конструкция в виде пар действительных чисел.

Пусть на множестве ℂ = {(a, b) | a,b ϵ ℝ} заданы операции:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b) ⋅ (c, d) = (a⋅c – b⋅d, a⋅d + b⋅c).

Теорема. является полем.

Доказательство.

1. 0 = (0, 0);

2. a = (a, b), –a = (–a, –b);

3. 1 = (1,0);

4. a = (a, b), a^-1 = (, );

5. очевидно. ■

(a, b) = a⋅(1, 0) + b⋅(0,1) ≔ a + b i, i ² = (– i)² = –1;

ℂ = {a + b i | a,b ϵ ℝ, i ² = –1} – поле комплексных чисел, ℝ ⊆ ℂ.

(3) Геометрическая интерпретация арифметических действий в поле ℂ.

Любому элементу c = a + bi ϵ ℂ можно сопоставить вектор на плоскости, у которого проекция на ось x равна a, проекция на ось y равна b, тогда ϕ – угол наклона этого вектора.

cos ϕ = ;

sin ϕ = .

(4) Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства.

|z| = = ϵ ℝ – модуль комплексного числа z; угол ϕ ≔ arg z называется аргументом числа z (определен с точностью до 2 π n, arg 0 не определен). Число a = Re z – реальная часть, число b = Im z – мнимая. Так, z = Re z + i ⋅Im z. Re(z₁+z₂) = Re z₁ + Re z₂; Im(z₁+z₂) = Im z₁ + Im z₂.

Тригонометрическая запись комплексного числа:

z = |z|⋅(cos ϕ + i⋅sin ϕ).

Лемма. Для любых z₁,z₂ ϵ ℂ справедливо:

1. arg (z₁⋅z₂) = arg z₁ +arg z₂ + 2πk, k ϵ ℤ;

|z₁⋅z₂| = |z₁|⋅|z₂|;

2. arg = arg z₁ – arg z₂ + 2πk, z₂ ≠ 0, k ϵ ℤ;

= ;

Дата добавления: 2015-07-11