Доказательство. 1. z1⋅z2 = |z1|⋅|z2|⋅(cos ϕ1 + isin ϕ1)⋅(cos ϕ2 + isin ϕ2) = |z1|⋅|z2|⋅(cos (ϕ1 + ϕ2) + isin

1. z₁⋅z₂ = |z₁|⋅|z₂|⋅(cos ϕ₁ + i sin ϕ₁)⋅(cos ϕ₂ + i sin ϕ₂) = |z₁|⋅|z₂|⋅(cos (ϕ₁ + ϕ₂) + i sin (ϕ₁ +ϕ₂)) ==> arg (z₁⋅z₂) = arg z₁ +arg z₂ + 2πk, |z₁⋅z₂| = |z₁|⋅|z₂|;

2. аналогично. ■

(5) Формула Муавра.

Формула Муавра. Для любого n ϵ ℕ справедливо равенство

(r⋅(cos ϕ + i sin ϕ))ⁿ = rⁿ⋅(cos n⋅ϕ + i sin n⋅ϕ).

(6) Извлечение корня из комплексного числа.

Рассмотрим решения уравнения xⁿ = z, где z = r⋅(cos ϕ + i sin ϕ). Пусть решением является x = p(cos ψ + i sin ψ), тогда

xⁿ = pⁿ⋅(cos n⋅ψ + i sin n⋅ψ) = r⋅(cos ϕ + i sin ϕ),

pn = r, cos n⋅ψ = cos ϕ, sin n⋅ψ = sin ϕ;

p = , n⋅ψ = ϕ + 2πk, k ϵ ℤ,

ψ = = + 2πs, k = n⋅s + t, 0 ≤ t ≤ n – 1,

ψ₁ = , ψ₂ = , ……, ψ_n = ;

Так, уравнение xⁿ = r⋅(cos ϕ + i sin ϕ) имеет n корней:

x_k = (cos + i sin ), k = 0,…, n–1.

(7) Корни из единицы.

Корнями из единицы называют решения уравнения xⁿ = 1:

ℰ_k = cos + i sin , k = 0,…, n–1.

(8) Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы.

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, транзитивно и симметрично.

Теорема о разбиении на классы эквивалентности. Пусть R – отношение эквивалентности на непустом множестве A. Тогда семейство классов эквивалентности B = {[a]_R | a ϵ A} образует разбиение множества A:

1. элементами множества B являются непустые подмножества A;

2. для любых b₁,b₂ ϵ B если b₁ ≠ b₂, то b₁∩b₂ = ;

3. A = ;

4. для любых a₁,a₂ ϵ A выполнено a₁Ra₂ тогда и только тогда, когда для некоторого b ϵ B справедливо a₁,a₂ ϵ b.

Доказательство. Пусть a ϵ A. Через [a]_R обозначим класс эквивалентности a ϵ A по R (такое подмножество A, что [a]_R = {x ϵ A | aRx}). Тогда:

1. в силу рефлективности R получаем, что a ϵ [a]_R, то есть [a]_R ≠ . Следовательно, B непусто, так как a ϵ [a]_R ϵ B;

2. предположим [a₁]_R,[a₂]_R ϵ B и [a₁]_R∩[a₂]_R ≠ . Тогда найдётся a ϵ [a₁]_R∩[a₂]_R, откуда получим, что [a₁]_R = [a]_R и [a]_R = [a₂]_R. Аналогично в обратную сторону. Следовательно, [a₁]_R = [a₂]_R тогда и только тогда, когда [a₁]_R ∩[a₂]_R ≠ ;

3. каждый элемент a ϵ A является элементом некоторого b ϵ B, а множество B, в свою очередь, по определению состоит только из элементов A;

4. пусть справедливо a₁Ra₂, тогда a₂ ϵ [a₁]_R, [a₁]_R = [a₂]_R, a₁,a₂ ϵ [a₁]_R. Обратно, пусть a₁,a₂ ϵ [a]_R, тогда [a₁]_R = [a]_R, [a₂]_R = [a]_R, [a₁]_R = [a₂]_R, a₁ ϵ [a₁]_R и a₁ ϵ [a₂]_R, то есть имеет место a₁Ra₂.

Докажем теперь единственность B. Предположим, существует множество B', удовлетворяющее свойствам 1–4. Тогда B' = B:

1. b' = [a]_R: пусть b' ϵ B', a ϵ A и a ϵ b'. Если a' ϵ b', то aRa' и a' ϵ [a]_R, [a]_R = b'. Пусть теперь a' ϵ [a]_R. Тогда aRa' и оба a и a' принадлежат какому-то элементу множества B', по свойству 2 a принадлежит только элементу b' ϵ B, значит, a' ϵ b', [a]_R = b';

2. B' ⊆ B: пусть b' ϵ B'. Тогда, по свойству 1, существует такой a ϵ A, что a ϵ b', но так как b' = [a]_R, то b' ϵ B;

3. B ⊆ B': пусть b ϵ B. Тогда b = [a]_R для некоторого a ϵ A. По свойству 3 существует такой b' ϵ B', что a ϵ b', но так как b' = [a]_R, то b ϵ B'. ■

Системы линейных уравнений.

(9) Элементарные преобразования систем линейных уравнений.

1. элементарное преобразование типа (I) – поменять местами i-ое и k-ое уравнения;

2. элементарное преобразование типа (II) – умножить i-ое уравнение на m ϵ F и прибавить к k-ому уравнению.

(10) Эквивалентность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

Теорема. Если с.л.у. (B) получена из с.л.у. (A) путем нескольких элементарных преобразований I или II типа, то (A) ~ (B).

Доказательство. Обозначим через S_A и S_B множество решений (A) и (B) соответственно.

1. Пусть (A) ⟼_I (B). При эл. преобр. (I) типа уравнения системы не изменились, следовательно, (A) ~ (B).

2. Пусть (A) ⟼_II (B). Если S_A = ∅, то S_B = ∅, (A) ~ (B). Если S_A ≠ ∅ и (y₁,..., y_n) ϵ S_A – произвольное решение системы (A), то (а_i1 + α⋅a_j1)⋅y₁ +... + (a_in + α⋅a_jn)⋅y_n = (a_i1⋅y₁ +... + a_in⋅y_n) + α⋅(a_j1⋅y₁ +... + a_jn⋅y₂ = b₁ + α⋅b₂. ((y₁,..., y_n) ϵ S_A) ϵ S_B, следовательно, S_A ⊆ S_B. Так как (B) ⟼_II (A), то S_B ⊆ S_A. Отсюда следует S_A = S_B, то есть (A) ~ (B).

3. Пусть (B) получена из (A) последовательностью n элементарных преобразований I или II типа. Тогда (A) ⟼ (a₁) ⟼... ⟼ (a_n-1) ⟼ (a_n) = (B). В силу доказанного имеем (A) ~ (a₁) ~... ~ (a_n-1) ~ (B), (A) ~ (B). ■

(11) Приведение систем линейных уравнений к ступенчатому виду методом Гаусса.

Лемма. Элементарными преобразованиями можно привести с.л.у. (A) к ступенчатому виду.

Доказательство. Пусть (A) – исходная с.л.у., (B) – с.л.у. в ступенчатом виде:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁,

………………………………, (A)

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m,

x₁ + x₂ + … + x_n = ,

x₂ + … + x_n = ,

…………………, (B)

……………,

x_n = .

1. Применяя к (A) эл. преобр. типа I, можно добиться, чтобы в первом уравнении с.л.у. при x₁ был ненулевой коэффициент .

2. Затем, применяя m–1 раз эл. преобр. II типа к остальным строкам, зануляем коэффициенты ,…, , исключая таким образом элемент x₁.

3. Повторяя пункты 1-2 m–1 раз, добиваемся ситуации, когда каждый x_i имеет не больше, чем i (i = 1,…,n) ненулевых коэффициентов. ■

Заметим, что (A) ~ (B), так как мы использовали только эл. преобразования I и II типа.

(12) Исследование систем линейных уравнений. Необходимые и достаточные условия совместности и определенности систем линейных уравнений.

Система линейных уравнений является:

1. совместной тогда и только тогда, когда множество решений S ≠ ∅, иначе – несовместной;

2. определенной тогда и только тогда, когда она имеет только одно решение, иначе – неопределенной.

Векторные пространства.

(13) Векторные пространства.

Непустое множество V над полем F называется векторным (линейным) пространством, если на нем заданы бинарная операция сложения (+) и унарная операция умножения на скаляр (⋅α ϵ F), удовлетворяющие следующим аксиомам:

1. сложение:

a. ассоциативно, т.е. (a+b)+c = a+(b+c),

b. коммутативно, т.е. a+b = b+a,

c. имеет нейтральным элемент: a+0 = 0+a = a,

d. имеет противоположный элемент: a+b = b+a = 0 (b = -a);

2. умножение:

a. ассоциативно, т.е. (α⋅β)⋅a = α⋅(β⋅a),

b. дистрибутивно, т.е. (α+β)⋅a = α⋅a+β⋅a, α⋅(a+b) = α⋅a+α⋅b,

c. имеет нейтральный элемент: 1⋅a = a,

d. имеет нулевой элемент: 0⋅a = 0.

(14) Пространство решений однородной системы линейных уравнений.

Пусть имеется однородная система линейных уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = 0,

………………………………, (A)

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = 0,

тогда справедливо следующее.

Лемма. Пространство решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством.

Доказательство. Через V_S = {(λ₁,…, λ_n)} обозначим пространство решений однородной с.л.у.. Определим на V_S операции сложения и умножения на скаляр и проверим аксиомы:

1. V_S ≠ ∅, т.к. 0 = (0,…, 0) ϵ V_S;

2. Пусть X,Y ϵ V_S, X = (x₁,…, x_n), Y = (y₁,…, y_n). Тогда X+Y ϵ V_S, т.к. имеем:

0 = x_k + y_k = (x_k + y_k), i = 0,…, m.

3. Для любого α ϵ F справедливо α⋅X ϵ V_S, т.к. имеем:

0 = α ⋅ x_k = x_k = (α⋅x_k), i = 0,…, m.

4. Остальные аксиомы следуют из того, что V_S ϵ F_n.

Так, пространство решений V_S однородной с.л.у. является линейным пространством. ■

(15) Линейные комбинации и линейная зависимость.

Пусть v₁,…, v_k – векторы пространства V, α₁,…, α_k ϵ F – скаляры. Тогда линейной комбинацией векторов v₁,…, v_k с коэффициентами α₁,…, α_k называется вектор

v = α₁⋅v₁ + α₂⋅v₂ + … + α_k⋅v_k.

Векторы v₁,…, v_k называются линейно зависимыми, если нулевой вектор является линейной комбинацией этих векторов, у которой хотя бы один коэффициент не равен нулю:

0 = α₁⋅v₁ + α₂⋅v₂ + … + α_k⋅v_k.

Векторы v₁,…, v_k называются линейно независимыми, если никакая линейная комбинация этих векторов не равна нулю, иначе,

0 = α₁⋅v₁ + α₂⋅v₂ + … + α_k⋅v_k <==> α_i = 0, i = 1,…, k.

Теорема. Пусть v₁,…, v_n – система векторов. Тогда

1. Если некоторая подсистема вектров v₁,…, v_n линейно зависима, то сами векторы v₁,…, v_n линейно зависимы.

2. Если v₁,…, v_n линейно независимы, то любая их подсистема линейно независима.

3. Если v₁,…, v_n линейно зависимы, то существует i такой, что v_i ϵ L(v₁,…, v_i-1, v_i+1,…, v_n).

4. Если v_i ϵ L(v₁,…, v_i-1, v_i+1,…, v_n), то v₁,…, v_n линейно зависимы.

5. Если v₁,…, v_n линейно независимы, но v₁,…, v_n, v линейно зависимы, то v ϵ L(v₁,…, v_n).

6. Если v₁,…, v_n линейно независимы и v ∉ L(v₁,…, v_n), то v₁,…, v_n, v линейно независимы.

Дата добавления: 2015-07-11