Предел функции

В этом и последующих § 6, § 7, § 8 предполагается, что функция задана на множестве , а точка – точка сгущения этого множества. Если же речь идет о бесконечно удаленной точке, то предполагается, что эта точка является предельной точкой множества .

Определение 5.1. Число является пределом функции в точке (в бесконечно удаленной точке), если функцию можно представить в виде

,

где – функция, бесконечно малая в точке (в бесконечно удаленной точке).

Тот факт, что число является пределом функции в точке , записывается следующим образом

(подстрочную запись следует читать так: «при , стремящемся к »).

Тот факт, что число является пределом функции в бесконечно удаленной точке, записывается следующим образом

(подстрочную запись следует читать так: «при , стремящемся к бесконечности»).

Так как является бесконечно малой, можно сформулировать определение предела в другой, эквивалентной, форме.

Определение 5.2. Число является пределом функции в точке (или при , стремящемся к ), если для любого положительного числа можно указать такое положительное (зависящее от ) число , что для всех выполнено неравенство:

(или выполнено двойное неравенство ()).

Определение 5.3. Число является пределом функции в бесконечно удаленной точке (или при , стремящемся к бесконечности), если для любого положительного числа найдется такое положительное (зависящее от него) число , что для всех справедливо неравенство

(или выполнено двойное неравенство ().

Замечание 5.1. В определениях 5.1, 5.2, 5.3 речь идет о конечном пределе функции . Если функция является бесконечно большой в точке (или в бесконечно удаленной точке), то этот факт записывается следующим образом:

(или ).

Замечание 5.2. Если ­– бесконечно большая в точке функция и в некоторой окрестности () сохраняется неравенство , то пишут

,

если сохраняется неравенство , то пишут

.

Аналогичную форму записи используют для случая бесконечно удаленной точки. Если для всех , удовлетворяющих условию (), сохраняется неравенство , то пишут . Если для всех , удовлетворяющих условию (), сохраняется неравенство , то пишут .

Дата добавления: 2015-07-11