Односторонние пределы

Понятие предела характеризует поведение функции при неограниченном приближении ее аргумента к точке . Однако ее поведение может быть различным в зависимости от того, с какой стороны приближается к . Опираясь на понятия правой и левой -полуокрестностей точки , можно сформулировать определения односторонних пределов.

Определение 5.4. Число является пределом справа функции в точке (или при , стремящемся к справа), если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех выполнено неравенство:

.

Этот факт записывается следующим образом:

.

Аналогично, число является пределом слева функции в точке (или при , стремящемся к слева), если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех выполнено неравенство:

.

Этот факт обозначается следующим образом:

.

Примером функции, имеющей в ряде точек различные пределы слева и справа, является функция , график которой приведен на рис. 1.1.

Сопоставляя определения 5.2 и 5.4, получаем утверждение о необходимом и достаточном условии существования предела функции в точке.

Теорема 5.1. Для того, чтобы функция имела предел в точке (), необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали ее пределы слева и справа и чтобы они были равны между собой, то есть

.

Дата добавления: 2015-07-11