Свойства предела функции

Теорема 5.2 (единственность предела). Если функция имеет предел в точке (в бесконечно удаленной точке), то этот предел единственен.

Доказательство. Предположим, что в рассматриваемой точке функция имеет два конечных предела и , причем . Тогда, по определению 5.1

,

,

где , – бесконечно малые в рассматриваемой точке функции.

Следовательно,

.

Но такое равенство невозможно, так как – положительное число, а – бесконечно малая функция, которая в некоторой окрестности рассматриваемой точки становится меньше любого заданного положительного числа.

Полученным противоречием теорема доказана.

Теорема 5.3 (ограниченность функции, имеющей конечный предел). Если функция имеет конечный предел в точке (в бесконечно удаленной точке), то она локально ограничена (ограничена) в этой точке.

Доказательство. Выберем и укажем по нему () из определения 2.6 (2.7). Тогда в проколотой -окрестности точки ( - окрестности бесконечно удаленной точки) выполнены неравенства:

,

что по определению 2.4 (2.5) означает локальную ограниченность (ограниченность) функции в рассматриваемой точке.

Теорема 5.4 (предельный переход в неравенстве). Пусть функции и с областью определения имеют пределы и в точке (в бесконечно удаленной точке). Если в некоторой проколотой окрестности точки (окрестности бесконечно удаленной точки) выполнено неравенство

,

то

.

Доказательство. Проведем доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2. Предполагая, что , воспользуемся представлениями

,

,

где , – бесконечно малые в рассматриваемой точке функции.

Поскольку по условию теоремы , должно выполняться неравенство

.

Но так как – бесконечно малая функция, то ее модуль в некоторой окрестности точки (окрестности бесконечно удаленной точки)становится меньше любого заданного положительного числа, в том числе можно указать такую окрестность, в которой будет выполнено . Поэтому в этой окрестности выполнено неравенство:

.

Полученным противоречием теорема доказана.

Теорема 5.5 (теорема о сжатой переменной). Пусть функции , и имеют область определения . Пусть в некоторой проколотой окрестности точки (окрестности бесконечно удаленной точки) выполнены неравенства

.

Пусть, кроме того,

.

Тогда

.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что в некоторой окрестности , где , (, где ) справедливы неравенства:

.

Выберем произвольное и укажем по нему () такое, что для всех () выполнено

,

.

Тогда для всех () выполнено

,

откуда

.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-11