Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые

Заметим, что функции, бесконечно малые в одной и той же точке, могут стремиться к нулю по-разному. Так, стремится к при гораздо «быстрее», чем и гораздо «медленнее», чем (рис. 8.1). Чтобы провести сравнение двух бесконечно малых в окрестности одной и той же точки функций, рассматривают предел их отношения.

Рис. 8.1.

Определение 8.1. 1) Говорят, что бесконечно малая в точке (в бесконечно удаленной точке) функция имеет в этой точке более высокий порядок малости, чем бесконечно малая , если

.

При этом говорят, что имеет в данной точке более низкий порядок малости, чем .

2) Говорят, что бесконечно малые в точке (в бесконечно удаленной точке) функции и имеют в этой точке одинаковый порядок малости, если

.

Среди пар бесконечно малых одинакового порядка особое место занимают те пары, для которых .

Определение 8.2. Говорят, что бесконечно малые в точке (в бесконечно удаленной точке) функции и являются эквивалентными в этой точке, если

.

Если бесконечно малая имеет более высокий порядок малости, чем бесконечно малая , то этот факт обозначается следующим образом

и читается так: « есть о-малое от ».

Если бесконечно малые и имеют одинаковый порядок малости, то этот факт обозначается следующим образом:

и читается так: « есть О-большое от ».

Эквивалентность бесконечно малых обозначается следующим образом:

.

Результаты §7 позволяют назвать следующие пары эквивалентных бесконечно малых в точке функций:

, (8.1)

, (8.2)

, (8.3)

. (8.4)

Помимо приведенных выше, существует еще ряд пар бесконечно малых в точке функций, эквивалентность которых нуждается в обосновании.

Теорема 8.1. В точке

, (8.5)

, (8.6)

, (8.7)

. (8.8)

Доказательство. Докажем соотношения (8.5)–(8.8), непосредственно используя определение 8.2. Последовательно применяя теоремы 6.1, 7.1 и 6.2 имеем

.

что означает эквивалентность функций и .

Для доказательства утверждения (8.6) введем переменную , откуда . В силу теоремы 6.1 при . Тогда

,

что означает эквивалентность функций и .

Для доказательства утверждения (8.7) введем переменную . Тогда . В силу теоремы 6.1 . Опираясь на доказанное выше соотношение (8.5), получим:

,

что означает эквивалентность функций и .

Для доказательства (8.8) используем формулу . Тогда

,

что означает эквивалентность функций и .

Замечание 8.1. Эквивалентные бесконечно малые обладают следующим свойством: если для бесконечно малых в точке (в бесконечно удаленной точке) функций выполнены условия , , то в этой точке . Этот факт проверяется рассуждениями

.

Например, в точке . Можно продолжить цепочку:

.

Эквивалентность бесконечно малых играет особую роль при раскрытии неопределенностей.

Теорема 8.2. Пусть , являются бесконечно малыми в точке (в бесконечно удаленной точке). Пусть в этой точке этим функциям соответственно эквивалентны бесконечно малые , . Тогда

.

Дата добавления: 2015-07-11