Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Равномерная сходимость функциональных последовательностей. В связи с функциональными рядами часто возникает вопрос о качестве их сходимости. Функциональные ряды помимо быстроты сходимости обладают ещё одной важной характеристикой. Чтобы продемонстрировать её наглядно, обратимся сначала к функциональным последовательностям. Это необходимо, так как сходимость ряда определяется сходимостью последовательности его частичных сумм.
Итак, рассмотрим на отрезке две последовательности и . На данном отрезке они
сходятся: .На графиках ниже приведены первые двадцать функций обеих последовательностей (график первой функции отмечен красным цветом).
Как видно, сходимость последовательностей разная. Количественно это отличие можно описать следующим образом. Посмотрим, как сильно отклоняется каждая следующая функция последовательности от предельной функции. В данном случае сравнивать нужно с тождественно равной нулю функцией.Конечно, при разных значениях аргумента отклонения функций последовательности от нуля различны. Однако можно заметить, что у функций с ростом максимальное отклонение функции от нуля постепенно уменьшается, чего не наблюдается у функций . Это отличие и фиксируется с помощью понятия равномерной сходимости.Дадим определение сходимости функциональной последовательности.
Последовательность сходится на множестве к функции , если
.
Это определение мало отличается от определения сходящейся числовой последовательности.
Теперь обратим внимание на одну деталь: номер , начиная с которого элемент последовательности начинает отличаться от предельной функции не более чем на , зависит не только от , но и от точки . Иными словами, в определении сходимости сказано, что рано или поздно для каждой точки множества найдётся такой номер . Другое дело, что для одних
точек он найдётся раньше, а для других - позже. Для "простой" сходимости это неважно.
Последовательность равномерно сходится на множестве к функции , если

Главное здесь в том, что фрагмент переместился внутрь утверждения, а номер перестал зависеть от точки . Т.е.половина определения сохранилась: по-прежнему требуется, чтобы, начиная с некоторого номера, элементы последовательности отличались от
предельной функции не более чем на . Только теперь утверждается, что при заданном это условие выполнится для всех значений сразу.Вернёмся к двум первым графикам. Проведём горизонтальную линию. Она будет соответствовать некоторому значению из определения сходимости. Видно, что в случае функций сколь бы велик ни был номер , графики элементов последовательности будут пересекать синюю прямую, т.е. не будет выполнено неравенство сразу для всех значений -равномерной сходимости нет. В случае функций для любого положения горизонтальной прямой найдётся элемент последовательности,график которого находится целиком ниже этой прямой. Это и говорит о равномерной сходимости последовательности.Критерий равномерной сходимости прост и в свете проведённых выше рассуждений понятен. Последовательность равномерно сходится на множестве к функции тогда и только тогда, когда .

Дата добавления: 2015-07-14