Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.

Определение 34 (определение подпоследовательности). Как
мы уже знаем (см.определение последовательности) последовательность это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если вместо множества всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмножество n_k, k = 1,2 ,..., n_k<n_k+ 1, то получим подпоследовательность x_nk.

Пример 27.

x_n = { n }=1,2,3 ,...,n,... x_nk = {1,3,...,2 n- 1,...}

Определение 35 (определение частичного предела). Предел
любой подпоследовательности, если он существует, называется частичным пределом данной последовательности.

Определение 36. Частичный предел последовательности называется предельной точкой данной последовательности.

Иначе говоря справедливо следующее определение предельной точки последовательности.

Определение 37 (определение предельной точки). Точка

a О R называется предельной точкой последовательности x_n, если в любой e – окрестности этой точки содержится бесконечно много элементов последовательности x_n.

Замечание. Если последовательность сходится, то по теореме 7, она имеет единственную предельную точку. Если

x_n не является сходящейся, то она может иметь несколько предельных точек (и, вообще бесконечно много предельных точек).

Определение 38. Нижним пределом последовательности называется наименьший частичный предел последовательности.

Верхним пределом последовательности называется наибольший частичный предел последовательности.

Условие существования предела последовательности эквивалентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой последовательности.

Вычисление верхнего и нижнего пределов последовательности сводится к тому, что выделяют сходящиеся подпоследовательности и сравнивают их пределы.

Теорема 13 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Дата добавления: 2015-07-14