Свойства сходящихся последовательностей.

Определение. Последовательность называется сходящейся, если у нее существует конечный предел (т.е. существует и ).

Рассмотрим свойства этих последовательностей.

1. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде , где , а - б.м.п.

Необходимость. Пусть . Это значит, что

Обозначим . Тогда и

т.е. б.м.п.

Достаточность. Пусть , где а - б.м.п., т.е. .

Но так как , то , т.е. .

Это свойство позволяет почти все остальные свойства свести к свойствам б.м.п.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. , где б.м.п. В силу этого ограничена, т.е. .

Но тогда , т.е. ограничена.

3. Если и сходящиеся последовательности, то тоже сходящаяся последовательность и .

Доказательство:

сходящаяся => , где б.м.п.

сходящаяся=> , где б.м.п.

Но тогда .

Но по свойствам б.м.п. есть б.м.п. и поэтому есть сходящаяся последовательность и

4. Если сходящаяся последовательность, то тоже сходится и

сходится => , где б.м.п.

Но тогда и, по свойству б.м.п. есть тоже б.м.п. Поэтому сходится и

5. Если и сходящиеся последовательности, то тоже сходящаяся последовательность и

Доказательство:

сходится=> , где б.м.п.

сходится => , где б.м.п.

Но тогда . Но, по свойствам б.м.п., , , есть б.м.п. их сумма есть также б.м.п. и есть сходящаяся последовательность и .

6. Если , то начиная с некоторого , последовательность ограничена.

Доказательство:

сходится => .

Т.к. то возьмем . Тогда

. Но тогда выполняется неравенство

.

Сравнивая начало и конец получим, что

и , т.е. при последовательность ограничена.

7. Если и сходящиеся последовательности, причем . Тогда есть также сходящаяся последовательность и

Доказательство:

сходится => , где б.м.п.

сходится => , где б.м.п.

Тогда

.

Вспомним, что . Тогда есть б.м.п., есть б.м.п и, т.к. ограниченна, то есть тоже б.м.п. Итак,

б.м.п. и поэтому

Предельный переход в неравенствах. Теорема 1. Пусть - сходящаяся последовательность и . Тогда .

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Обозначим . Тогда утверждение, противоположное доказываемому, имеет вид:

.

Возьмем . Тогда, по определению, предела последовательности, можно написать

.

Последнее неравенство распишем в виде двойного

Но так как , то и получается что , что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если и сходящиеся последовательности и , то

.

Доказательство дается следующей цепочкой следствий

=> => =>

=>

Важное замечание. Допустим, что в условии теоремы вместо мы написали . Можно ли утверждать, что ?

Ответ отрицательный. Действительно, пусть, например, . Тогда , но .

Таким образом, итог этой теоремы и замечание выглядит так: в неравенствах допустим предельный переход, надо только иметь ввиду, что после предельного перехода строгое неравенство (типа > или <) может замениться на нестрогое

(> перейдет в , < перейдет в ).

Монотонные последовательности. О п р е д е л е н и е. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если справедливо неравенство

.

Если на самом деле выполняются строгие неравенства , то последовательность называется строго возрастающей (строго убывающей) или просто возрастающей (убывающей). Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие называются монотонными.

Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки , откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая сверху.

Т е о р е м а 1. Если последовательность действительных чисел (1)

не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом (соответственно ), то существуетдействительное число , не превышающее (не меньшее ), к которому эта последовательность стремится как к своему пределу:

(2)

(соответственно ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность (1) не убывает и пусть пока , тогда и все . Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную разложим в бесконечную десятичную дробь:

. (3)

Так как последовательность ограничена сверху числом и не убывает, то на основании леммы 2 § 1.6, десятичные дроби (3) стабилизируются к некоторому числу :

,

но тогда стремится к как к своему пределу:

.

В самом деле, для любого найдется натуральное такое, что . Так как стабилизируется к , то

для всех , где достаточно велико, но тогда

,

т. е. при .

Если , то прибавим к число настолько большое, что , и положим .

Последовательность не убывает, ограничена сверху числом и ее элементы положительны. Поэтому, по доказанному выше существует предел , но тогда существует также предел , и теорема доказана для произвольной неубывающей последовательности.

Если теперь последовательность не возрастает и ограничена снизу числом , то последовательность чисел не убывает и ограничена сверху числом , и, на основании уже доказанного, существует предел , который мы обозначили через . Следовательно, существует также . Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-14