Ответ: .

м) Здесь следует рассмотреть два отдельных случая: и . Пусть , используя теорему 4.2, получим

.

Пусть , тогда имеет место неопределенность . Умножим и разделим исходное выражение на «сопряженное» выражение и воспользуемся теоремой 4.1. Получим

.

Ответ: искомый предел при не существует, существуют различные пределы при и при : ,

.

н) Здесь возникает неопределенность типа . Приведем дроби к общему знаменателю, затем разложим числитель и знаменатель на множители и сократим их на общий множитель. Получим

.

Ответ: .

о) При вычислении предела аргумента синуса возникает неопределенность типа . Вычислим этот предел:

.

Тогда по теореме 6.1 получим:

.

Ответ: .

п) Здесь при вычислении предела аргумента логарифма возникает неопределенность типа . Вычислим этот предел:

.

По теореме 6.1 получим:

.

Ответ: .

§ 7. Замечательные пределы

Устанавливаемые в этом параграфе соотношения позволяют в некоторых случаях раскрывать неопределенности и находить значения пределов.

1) Теорема 7.1. Справедливо соотношение

.

Доказательство. Достаточно рассмотреть , так как . Обратимся к рис. 7.1. На нем изображена окружность, радиус которой равен . Точки , , лежат на этой окружности, причем ( – точка пересечения хорды и радиуса ). В точках и к окружности проведены касательные. Они пересекаются в точке , лежащей на прямой .

Рис. 7.1.

Из рис. 7.1 очевидны соотношения:

; ; .

Так как , то

.

Разделив все три части неравенства на и перейдя к обратным величинам, будем иметь

.

Применяя теорему 5.5 о сжатой переменой и учитывая, что по теореме 6.1 , получим

.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-11