Ответ: 12

o Задание №0AF811

· Заметим, что треугольник АВС - равнобедренный, так как угол ВКА равен углу КАD, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. А в свою очередь угол КАD равен углу ВКА по определению биссектрисы. Значит Поэтому треугольник АВК - равнобедренный. Значит стороны АВ и ВК равны. АВ=ВК=7 см.

· Периметр параллелограмма равен

· 2*АВ+2*ВС=2*7+2*(ВК+КС)=14+2*(7+8)=14+2*15=14+30=44 см

o Задание №42869E

o Обозначим вершины трапеций , опустим биссектрису , так что .
Заметим что если опустить параллельную , отрезок .
Получим параллелограмм , так что .
Треугольник подобен треугольнику .
По свойству биссектрисы в треугольнике получим

из подобия треугольников получим

то есть большее основание равно , по формуле площадь трапеций можно найти по формуле

Ответ

· Задание №F6A964

Рассмотрим треугольник АРС.
По определению tgBAC=СР/АР=0,75 => CP=0,75AP
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен r=(AP+CP-AC)/2
Подставляем СР=0,75AP
2r=AP+0,75AP-AC
2r=1,75AP-AC
2*4+AC=1,75AP
AP=(8+AC)/1,75 (поставим здесь пометку 1, чуть позднее вернемся к ней)
По теореме Пифагора AC²=AP²+CP²
AC²=AP²+(0,75AP)²
AC²=AP²(1+0,75²)
AC²=AP²*(1+0,5625)
AC²=AP²*1,5625
AC=AP*1,25
Из пометки 1 подставляем AP
AC=1,25*(8+AC)/1,75
1,75AC=1,25(8+AC) сократим на 25
0,07AC=0,05(8+AC) умножим правую и левую часть уравнения на 100 (для удобства)
7AC=5(8+AC)
7AC=40+5AC
2AC=40
AC=20
Теперь рассмотрим большой треугольник АВС и проведем для него те же операции, но сразу с числами
tgBAC=BC/AC => 0,75=BC/20 => BC=0,75*20=15
По теореме Пифагора запишем AB²=AC²+BC²
AB²=20²+15²
AB²=400+225=625
AB=25
Теперь все полученые данные подставляем в формулу радиуса окружности
R=(AC+BC-AB)/2
R=(20+15-25)/2
R=10/2
R=5

· Задание №F2E818

S(amb)=S(bmc) => S(amb = 1/2 S(abc)

Ak - медиана треугольника AMB, так как BK=KM

S(abk)=S(amk)=1/2 S(abm) = 1/4 S(abc)

Проведем ML параллельно AP

ML - средняя линия ACP (так как ML параллельна AP и AM=MC) =>PL=LC

KP - средняя линия BMP=>PL=PB

PL=LC; PL=PB =>PL=LC=PB

S(bkp)/ S(mbc)= 1/2* sinB * BK* BP/1/2* sinB * BM*BC (при этом мы знаем, что BK=1/2 BM и BP = 1/3 BC)=> S(bkp)/ S(mbc)=1/6

S(bkp)/ S(mbc)=1/6 => S(cmkp)/ S(mbc)=5/6 => S(cmkp)/ S(abc) = 5/12

S(mbc)/S(cmkp) = 1/4 S(abc)/ 5/12S(abc)= 3/5

o Задание №3B4A3F

Обозначим точки пересечения биссектрис со сторонами
∠ FAK= ∠ BEK (т.к. это н/к углы).
Получается, что ∠ BAK= ∠ BEK, следовательно треугольник ABE - равнобедренный. (по свойству равноб. треугольника.
Тогда AB=BE.
Треугольники ABK и EBK равны по 1 признаку равенства треугольников.
Следовательно и высоты у этих треугольников тоже равны.
Аналогично, равны и треугольники ABK и AFK.
Получается, что высота параллелограма равна 2h.
Площадь параллелограмма равна SABCD=2h*BC=2*1*2=4
Ответ: SABCD=4

· Задание №DF693E

Пусть большее основание равно А, а меньшее В.
Тогда отрезок разделит трапецию на 2 с основаниями А/2 и В/2.
Площадь левой равна (А/2+В/2):2 *Н
Площадь правой равна (А/2+В/2):2 *Н Площади равны.

o Задание №95534B

Т.к. M равноудалена от A,B,C,D, то A,B,C,D лежат на окружности с центром в т. M.
Угол BCD - вписанный, опирается на дугу BAD, т.е. градусная мера дуги BAD=2*112=224
Угол CBA - вписанный, опирается на дугу CDA, т.е. градусная мера дуги CDA=2*128=256
AD - диаметр, поэтому дуга AD равна 180 градусам
Тогда дугаBA=дугаBAD-дугаAD=224-180=44 градуса
дугаCD=дугаCDA-дугаDA=256-180=76 градусов
ДугаBC=дугаAD-дугаAB-дугаCD=180-76-44=60
Т.е. уголBMС=60 градусов - центральный, опирающийся на хорду длиной 4, поэтому радиус (r=AM=MD) равен 4
Диаметр=AD=4*2=8

· Задание №CCF489

· Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е. Это правильный способ доказательства для данной задачи.
Итак, ВЕ II AC;
Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы ВКЕ и АКМ равны как вертикальные), поэтому из подобия имеем следующие отношения соответствующих сторон: ЕВ/АМ = ВК/КМ; у нас ВК=КМ (дано), значит ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ;
Отсюда ЕВ = АС/2; (так как ВМ - медиана и АМ=0,5АС)
Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку (углы ВPE и АКМ равны как вертикальные), поэтому ВР/РС = ЕВ/АС = 1/2 (так как ЕВ = 1/2*АС); Отсюда РС = 2ВР.

· То есть ВС равна ВР+2ВР = 3ВР или ВС разделена точкой Р на части 1/3 и 2/3.
Итак, СР = ВС*2/3. Площадь треугольника АСР равна площади треугольника АВС минус площадь треугольника АВР. По известной формуле S=1/2*BC*h имеем площадь тр-ка АВС. Заметим, что у тр-ков АВС, АВР и АРС высота h, проведенная к основанию ВС (ВР,РС) одна и та же, можем сказать что их площади относятся, как их основания, то есть 1:1/3:2/3. Тогда Sacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).
Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ (из свойства медианы тр-ка, которая делит тр-к на два равных), то
Sakm = 1/2(Sabm) = 1/2[1/2(Sabm)] = 1/4(Sabm) = S/4, где S - площадь тр-ка АВС;
Площадь четырехугольника КРСМ равна площади треугольника ACP минус площадь тр-ка AKM. подставляем известные нам величины и получим: 2/3(Sabc) - 1/4(Sabm) = 5/12(Sabm).
Ну и отношение Sabk/Skpcm = 1/4:5/12 = 3/5. (помните, что Sabk = Sakm по свойству медианы АК тр-ка АВМ, которая делит тр-к на два равных)

o Задание №EEE91E

Продлим стороны AB и CD до пересечения друг с другом.
Рассмотрим треугольник AED.
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠EDA+∠DAE+∠AED
180°=90°+∠AED
∠AED=90°
Следовательно треугольник AED - прямоугольный.
Рассмотрим треугольники AED и BEC.
∠AED - общий
∠EBC=∠EAD (т.к. это соответственные углы)
Треугольники AED и BEC подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда по определению подобия:
AD/BC=AE/BE
AD/BC=(AB+BE)/BE
49/21=(20+BE)/BE
49BE/21=20+BE
28BE/21=20
BE=20*21/28=15
Точка F - точка касания прямой CD и окружности.
По теореме о касательной и секущей:
EF²=BE*AE=BE*(AB+BE)=15(20+15)=525
EF=√525
Рассмотрим треугольник EOK.
О - центр окружности
OB - радиус окружности
OK - серединный перпендикуляр к хорде AB (третье свойство хорды)
OK=EF (т.к. KEFO - прямоугольник)
KB=AB/2 (т.к. OK - серединный перпендикуляр)
По теореме Пифагора:
OB²=OK²+KB²
OB²=(√525)²+(20/2)²
OB²=525+100=625
OB=25
Ответ: R=25

o Задание №ACA918

OC является радиусом окружности R, AO=AC-OC.
Проведем отрезок BO. BO - так же является радиусом окружности. AB - касательная окружности, следовательно AB перпендикулярен BO
Значит треугольник ABO - прямоугольный, тогда по т.Пифагора:
AO2=AB2+BO2
(AC-OC)2=AB2+R2
(10-R)2=62+R2
100-20R+R2=36+R2
100-36=20R
R=3,2
D=2R=2*3,2=6,4
Ответ: D=6,4

o Задание №FE5B5C

угол QNM=углу QPM (Так как опираются на одну дугу). Угол QNM =углу QNP (так как NQ-биссектриса по условию. Из подчёркнутого следует, что угол QPM= углу QNP.
Треугольники NPQ и SPQ подобны(угол NQP - общий, угол QNP=углу QPM(доказано выше))
NQ/QP=QP/SQ
NQ=QP^2/SQ=86^2/43=7396/43=172
NS=NQ-SQ=172-43=129

· Задание №9FD08A

· Опустим перпендикуляры из вершин В и С на сторону АД и назовем точки В1 и С1. Примем ВС=СД=х. Угол ДСС1=180-90-60=30. Тогда противолежащий катет С1Д=СД/2=х/2. Т.к. АД=2ВС, то АВ1+С1Д=В1С1=ВС. тогда АВ1=ВС-С1Д=х-х/2=х/2. Значит трапеция равнобедренная, значит ВС=СД=АВ=6; АД=12.

· Высота СС1= корень ииз (СД^2-С1Д^2)=корень из 27.

· Площадь=(ВС+АД)*СС1/2=27*корень из 3

o Задание №D22388

Рассмотрим трапецию ACO₁O₂
Данная трапеция прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).
Проведем O₂K параллельно AC, O₂K=AC, т.к. ACKO₂ - прямоугольник. По теореме Пифагора:
(O₁O₂)²=(O₂K)²+(KO₁)²
(R+r)²=(O₂K)²+(R-r)²
(90+45)²=(O₂K)²+(90-45)²
18225=(O₂K)²+2025
(O₂K)²=16200
O₂K=10√162=AC
Рассмотрим треугольники OAO₂ и OCO₁ (cм. Рис.1).
∠AOO₂ - общий
∠OAO₂=∠OCO₁=90°
Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
90/45=OC/OA=(OA+AC)/OA
2*OA=OA+10√162
OA=10√162
Из подобия этих же треугольников:
R/r=O₁0/O₂O
R/r=(O₂O+R+r)/O₂O
90/45=(O₂O+90+45)/O₂O
2(O₂O)=O₂O+135
O₂O=135
Обозначим угол ∠AOO₂ как α
cosa =OA/OO₂=10√162/135
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они прямоугольные по второму свойству хорды.
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=10√162*10√162/135=120
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=(10√162+10√162)*10√162/135=20√162*10√162/135=200*162/135=240
EF=OF-OE=240-120=120
Ответ: EF=120

·

o Задание №9A65C7

Расстояние от точки E до прямой CD - перпендикуляр из точки Е к прямой CD. Точка Е - точка касания окружности с центром О и касательной АВ. Значит отрезок ОЕ (радиус) перпендикулярен АВ, то есть параллелен ВС и четырехугольник ЕВСО - квадрат, так как ОЕ=ОС=ВЕ=ВС=4.
В прямоугольном треугольнике ODH гипотенуза ОD=4 (радиус). Но и НD=4 (AD-BC). То есть точки Е и А совпадают. Значит ED - диаметр и <ЕCD = 90°(так как он опирается на диаметр) и АС = √(ВС²+ВЕ²) = √(16+16) = 4√2, а это и есть искомое расстояние.

o Задание №DDFE48

чтобы доказать равенство этих углов
достаточно доказать подобие треугольников АВЕ и А1В1Е
в них уже есть равные углы --- вертикальные при вершине Е
рассмотрим два прямоугольных треугольника АЕВ1 и ВЕА1 -- они подобны
(((по двум углам)))
АВ1 / ВА1 = ЕВ1 / ЕА1 = АЕ / ЕВ
ЕВ1 * ЕВ = ЕА1 * АЕ
ЕВ1 * ЕВ / АЕ = ЕА1
ЕВ1 / АЕ = ЕА1 / ЕВ
т.е. ЕВ1 и АЕ являются соответственными -- т.е. лежат против равных углов в подобных треугольниках...
а стороны АВ и А1В1 и так лежат против равных углов...

o Задание №B93381

· Обозначим внешний угол С (это угол А1СА = угол В1СВ) как Ф; тогда

· СА1 = АС*cos(Ф);

· СВ1 = ВС*cos(Ф);

· СА1/СВ1 = AC/BC;

· то есть стороны пропорциональны, а угол между ними - одинаковый

· угол АСВ = угол А1СВ1;

· Задание №20C87A

Обозначим треугольник АВС(смотри рисунок). Проведём радиусы О1М и О2К к боковой стороне. Треугольники О1МС и О1ДС равны по катету равному R1 и гобщей гипотенузе О1С. Аналогично равны треугольники О2ДС и О2СК. Отсюда МС=6 и СК=6. Также будут равны О1СМ=О1СД=угол1 и О2СД и О2СК=угол 2. Но угол1+угол1+угол2+угол2=180 или 2(угол1+угол2)=180. Отсюда угол1+угол2=90. А это есть угол О1СО2. То есть треугольник О1СО2-прямоугольный. По теореме Пифагора находим R1=4,5. Кстати для заданных условий угол О1СО2 всегда будет равен 90 градусов при любых R1 и R2.

o Задание №04C079

• Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону. к которой она проведена.
  S АВСД=МН*АД
  S△АЕД=ЕН*АД: 2
  S▽ВЕС=ВС*МЕ: 2
  АД=ВС
  S△АЕД+S▽ВЕС= ЕН*АД:2+ВС*МЕ:2= АД(ЕН+МЕ):2
  ЕН+МЕ=МН
  S△АЕД+S▽ВЕС=АД*МН:2
• 

· Задание №44BCBB

Надо найти тупой угол треугольника так как треугольник
Очевидно что угол лежащий стороны будет тупым
Тогда угол AKC равен по теореме косинусов

o Задание №0DBEF1

Опустим высоту СН1 на АD. Угол Н1CD = 135-90=45, значит катеты СН1=Н1D. Тогда высота трапеци находится по Пифагору: 2*СН1² = 54 (так как CD = 3√6), отсюда СН1=√27 = 3√3. Опустим высоту ВН2 = СН1 на АD. Угол Н2ВА = 90°- 60°=30°, значит катет Н2В=0,5*АВ (против угла 30). Тогда гипотенуза АВ (боковая сторона трапеции АВСD) равна по Пифагору: АВ²=АВ²/4 + (3√3)², отсюда АВ² = 4*9, а АВ=6.

Ответ АВ = 6.

o Задание №2984BE

треугольник АМВ подобен треугольнику СМД по двум равным углам (уголАМВ=уголСМД как вертикальные, уголМДС=уголМВА как внутренние разносторонние), АВ=14, СД=42, АС=52, АМ=х, МС=АС-АМ=52-х, АВ/СД=АМ/МС, 14/42=х/52-х, 728-14х=42х, х=13=АМ, МС=52-13=39

o Задание №7ECA85

Проведем из прямого угла медиану и высоту, обозначив их m и h соответственно.
Если описать окружность вокруг треугольника, то центр этой окружности будет лежать на середине гипотенузы (потеореме об описанной окружности). Следовательно:
m=c/2=16/2=8
S=(1/2)hc => h=2S/c=2*32√3/16=4√3
По определению синуса:
sinβ=h/m=4√3/8=√3/2
По таблице определяем, что β=60°
Угол γ является внешнем к β, следовательно γ=180°-β=180°-60°=120°
Треугольник, содержащий угол γ, равнобедренный, так как медиана m и половина гипотенузы равны (это мы выяснили ранее).
Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны (обозначены α).
Тогда, по теореме о сумме углов треугольника:
180°=γ+α+α
180°=120°+2α
α=30° - это один из искомых углов.
Другой искомый угол найдем по той же теореме об углах треугольника: 180°-90°-30°=60°
ответ: 30° и 60°

o Задание №D13381

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону. к которой она проведена.
S АВСД=МН*АД
S△АЕД=ЕН*АД:2
S▽ВЕС=ВС*МЕ:2
АД=ВС
S△АЕД+S▽ВЕС= ЕН*АД:2+ВС*МЕ:2=АД(ЕН+МЕ):2
ЕН+МЕ=МН
S△АЕД+S▽ВЕС=АД*МН:2

o Задание №D23400

диаметры относятся так же, как и радиусы...
d/D = (2r) / (2R) = r/R
т.е. нужно доказать, что r/R = a/b
радиусы, проведенные в точку касания _|_ касательной --->
получили два подобных прямоугольных треугольника (в них острые углы вертикальны, т.е. равны...)))
осталось записать отношение соответственных сторон...
гипотенузы относятся как катеты, лежащие против равных (вертикальных)) углов...

o Задание №877C9A

· Пусть AD - нижнее основание AD<BC

· S(ABD)=S(ACD) - так как у єтих треугольников общее основание AD, а высоты треугольников, проведенные к основанию, являются высотами трапеции и потому равны.

·

· S(AOB)=S(ABD)-S(AOD)

· S(COD)=S(ACD)-S(AOD)

·

· поєтому

· S(AOB)=S(COD).

o Задание №6DF194

третий угол треугольника = 180-71-79 = 30 градусов...
это вписанный угол, опирающийся на дугу ВС
центральный угол, опирающийся на дугу ВС, будет = 60 градусов...
центральный угол --- это угол равнобедренного треугольника с боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности...
а если угол при вершине равнобедренного треугольника = 60, то это треугольник равносторонний...
=> ВС = радиусу описанной окружности = 8

o Задание №B7BF5D

На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC.
Найдите AD, если AC=40, BC=45 и CD=24
Сделаем рисунок.
Треугольник АВC тупоугольный - длина сторон предполагает это.
Сторона ВС - касательная,
ДС - хорда.
Согласно теореме об угле между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания,
∠ ВСД равен половине дуги ДС, на которую опирается центральный угол ДОС, и равен половине этого центрального.
Вписанный угол ДАС опирается на ту же дугу и тоже равен половине угла ДОС.
∠ ВСД= ∠ ВАС.
Рассмотрим треугольники АВС и ДВС.
Они имеют по два равных угла:
∠В - общий
∠ВСД=∠ВАС из доказанного выше.
Найдем коэффициент подобия этих треугольников.
Соответственные стороны подобных треугольников лежат против равных углов.
АС: ДС=40: 24=5: 3
k=5/3
АВ: ВС=5 :3
3АВ=5*45
3АВ=225
АВ=75
ВС: ВД=5/3
5ВД=3*45=135
ВД=135: 5=27
АД =АВ-ВД=75-27= 48

o Задание №EB7D4F

o Задание №8C3BBB

Пусть

[/tex]

По теореме о сумме углов треугольника сумма этих углов равна 180 градусам.

Заметим, что напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Значит меньшая сторона BC, равная 11 см, лежит напротив меньшего . Остальные углы будут больше. По теореме синусов

R=11 см

Ответ: 11 см

· Задание №A28E9C

Рассмотрим треугольники ABC и ACD.
Сторона AC - общая для этих треугольников, AB=CD и BC=AD (по свойству параллелограмма), следовательно рассматриваемые треугольники равны (по третьему признаку). А значит равны и их площади, и равны эти площади половине площади параллелограмма.
Рассмотрим треугольник ACB, как только что выяснили, площадь этого треугольника равна половине площади параллелограмма. Отрезок BK - является медианой (по третьему свойству параллелограмма), и соответственно делит этот треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. равных по площади (свойство медианы).
Следовательно площадь BKC равна половине площади треугольника ACB. S_BKC=S_ACB/2=S_ABCD/4.

o Задание №41D80A

Проведем из вершины , отрезок . Треугольник будет прямоугольный, так как диаметр окружности, значит высота.
По свойству секущей
, где противоположено отложенные точки.

Треугольники подобны

o Задание №2EB3D5

Около четырехугольника опишем окружность.
Угол ABD=ACD,как вписанные опирающиеся на одну и ту же дугу.
Углы DAC и DBC тоже будут равны т.к.вписанные опирающиеся на одну дугу.

· Задание №603AAE

тк треугольник ABC вписан в окружность,то углы BB1С и BAC равны как углы вписанные в 1 окружность и опирающиеся на 1 дугу. тк отрезок B1С1 проходит через центр окружности,то B1C1-диаметр,тогда угол B1BC1 прямой тк опирается на диаметр.Если обозначить L и N основания высот,а E точка пересечения высот. ТО угол BEL=90-BB1C угол NBA=90-BEL=BB1С,откуда BAC=NBA=BB1C=x
тогда из прямоугольного треугольника BNA: 2x=90 x=45
Ответ:45 ==

o Задание №4C326F

Действуем через подобие треугольников: ABC и MBN
MN/BN = AC/NC+NB
Подставляем числовые значения и получается:
17/BN=51/32+BN => 34BN=544 => BN=16

Ответ: BN=16

Задание №F17BEE

o Задание №D3AE8B

o Задание №D3AE8B

Если в трапецию вписана окружность, то сумма длин боковых стороне равна сумме длин оснований. А средняя линия равна полусумме оснований. Тогда средняя линия равна 34/2=17.

o Задание №55521F

Если сумма противоположных углов четырёхугольника (трапеция-это четырёхугольник) равна 180', то около него можно описать окружность.
Тогда т.к. угол ВАD=49', то угол ВСD = 180'-49'=131'.
Угол АВС=180'-49'=131' (т.к угол АВС и угол ВАD - односторонние).
Угол АDC=180'-131'=49'.

Ответ: угол А = углу D=49', угол В = углу С = 131'.

o Задание №2D06EF

т. О лежит на АD, следовательно все точки || BC равноудалены.
Биссектриса - секущая, некрестлежащие углы равны. В треугольнике два угла равны они равно бедренные. Пересечение биссектрис возможно когда углы равны у меньшего основания, поэтому эти треугольники равны, следовательно трапеция равнобедренная. т. О равно удалена и от АВ и СD.

o Задание №01D59A

Для удобства введем обозначения:
a - сторона ромба (они равны по определению ромба)
d - диагональ AC
28d - диагональ BD (по условию)
AE - k
EB - t
Площадь параллелограмма через диагонали равна BD*AC*sinα/2 = 28d*d*sinα/2 = 14d2*sinα, где α - угол между диагоналями (при чем не важно какой, так как синусы обоих углов будут равны друг другу).

· Задание №67CC2F

Если медиана то , по условию следует что . Если мы проведем отрезок то получим прямоугольные треугольники .
Заметим что треугольник равнобедренный так как высота делящая сторону пополам - это свойственно равнобедренному либо равностороннем треугольникам. Треугольник так же равнобедренный поскольку . Если теперь обозначить угол то в треугольнике то есть треугольник - прямоугольный, следовательно откудо
Ответ

o Задание №933142

<OAD=<BOA как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых AD и ВС секущей АО. Но <BAO=<OAD по условию, значит
<BOA=<BAO, и треугольник АВО - равнобедренный с равными углами при основании АО, значит
АВ=ВО
2. <COD=<ODA как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых AD и ВС секущей DО. Но <ODA=<CDO по условию, значит
<COD=<CDO, и треугольник OCD - равнобедренный с равными углами при основании OD, и
ОС=CD.
3. Поскольку CD=AB, мы получаем, что:
АВ=ВО=ОС=CD, и точка О - середина ВС. Значит
АВ=32/2 = 16

o Задание №A6503A

· Если в паралелограм можно вписать окружность, то это ромб.

· Следовательно периметр P=7*4=28

o Задание №DF340B

• Ре­ше­ние.
• Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В тре­уголь­ни­ке — бис­сек­три­са. Бис­сек­три­са делит про­ти­во­ле­жа­щую сто­ро­ну на от­рез­ки про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам, то есть Найдём ко­си­нус угла
• 
• Сле­до­ва­тель­но, синус угла равен:
• 
• Из тео­ре­мы си­ну­сов найдём ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти:
• 

o Задание №8AADB9

· соединям концы хорды АВ с центром О, треугольник АОВ равнобедренный АО=ВО=радиус, проводим высоту ОН на АВ, высота=медиане АН=ВН=АВ/2=8/2=4,,ОН=3, Треугольник АНО прямоугольный, АО =радиусу = гипотенузе=корень(АН в квадрате + ОН в квадрате)=

· =корень (16+9) =5, радиус=5

· соединяем концы хорды СД с центром О, треугольник СОД равнобедренный, проводим высоту=медиане ОМ на СД, СМ=МД, ОМ=4, треугольник ОСМ прямоугольный СМ катет=

· =корень(ОС (радиус) в квадрате - ОМ в квадрате) = корень (25-16)=3

· СД=2 х СМ=2 х 3 =6

o Задание №2B0886

От середины АВ проведем среднюю линию ЕК.
Она разделила треугольник ЕСD на два: ᐃ ЕСК и ᐃ ЕКD.
ЕК делит высоту СМ трапеции пополам, и СН=МН=DТ=СМ:2
Треугольники ЕСК и ЕКD равновелики: их площади равны половине произведения средней линии ЕК трапеции АВСD на половину ее высоты.
S ᐃ ECD=S ᐃ ECK+S ᐃ EKD
S ᐃ ECD=(EK*CM: 2): 2+(EK*CM: 2): 2
S ᐃ ECD=EK*CM:4
Площадь трапеции равна
ЕК*СМ: 2=2EK*CM: 4
S ᐃ SECD=S ABCD:2

o Задание №F4B056

параллелограмм АВСД, АФ-биссектриса угла А, уголВАФ=уголДАФ=1/2уголА, уголВАФ=уголАФД как внутренние разносторонние, треугольник АДФ равнобедренный, АД=ДФ, ВФ-биссектриса угла В, уголАВФ=уголСВФ=1/2уголВ, уголАВФ=уголВФС как внутренние разносторонние, треугольник ВСФ равнобедренный, ВС=СФ, но ВС=АД, тогда СФ=ДФ, Ф-середина СД

o Задание №9AD145

Сначала, представим угол С=а
Теперь решаем
1. угол АОВ=2а, т.к. они опираются на одну дугу АВ, только АОВ-центральный.
2. угол ВАО = (180-2а)/2=90-а (учтите, что ВО=АО, поэтому делим на 2)
3. Тогда угол АВО'(O'-Пересечение ВD с АО) = 180-180+а=а
4. рассмотрим треуг. АВС и треуг АВD. угол АВD = углу C по 3 пункту, а А-общий. Опа! Треуг АВD подобен АВС по углам.
5. Из подобия AD/8=8/65, или AD=1, А СD соответственно 63.
Ответ: 63

o Задание №CA72D9

o Задание №844FB0

Пусть треугольник ABC.По теореме о равенстве отрезков касательных получим
MB=BK KC=PC AP=AM откуда следует равенства углов:APM=AMP BMK=BKM СKM=CPK(в силу равнобедренности треугольников) обозначит тогда тк сумма углов треугольника 180 угол AMP=(180-A)/2 BMP=(180-B)/2 тк угол AB развернутый PMK=180-((180-B)/2 + (180-A)/2)=180-(360-(A+B))/2= 180-(180-(A+B)/2=(A+B)/2 по анологии все остальные углы равны ((A+C)/2 (B+C)/2 тогда получим систему
(A+B)=52*2=104 вычетая 2 из 1 получим С-B=112-104=8 и складывая c 3
(A+C)=56*2=112 2C=8+144=152 C=76 A=112-76=36 B=104-A=104-36=68
(B+С)=72*2=144 Ответ:68,36,76

Задание №A79CBD

Проведи перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к стороне ромба; он равен 11. Половина диагонали равна 22. В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенуза в 2 раза больше катета, значит угол напротив этого катета равен 30 гр.--это половина острого угла ромба. Острый угол ромба равен 60гр. А тупой равен 180-60=120 гр

· Задание №32190F

Сумма углов А и В равна 180 градусов. Полусумма их равна 90 градусов, значит угол AFB равен 90 градусов. Треугольник ABF прямоугольный. По Пифагору АВ=26 см.

o Задание №108A30

Рассмотрим треугольники ABC и KBM.
/B - общий.
/BAC=/BKM (т.к. это соответственные углы)
/BCA=/BMK (т.к. это тоже соответственные углы)
Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия.
Тогда по определению подобных треугольников:
BA/BK=AC/KM
(BK+KA)/BK=AC/KM
BK/BK+KA/BK=AC/KM
1+KA/BK=AC/KM
1+4/3=AC/KM
7/3=AC/18
AC=7*18/3=42
Ответ: AC=42

o Задание №088A84

Проведем высоты h₁ и h₂ как показано на рисунке.
Рассмотрим треугольники CFG и FDJ.
∠CGF=∠FJD=90° (т.к. мы проводили высоты).
∠CFG=∠FDJ (т.к. это соответственные углы).
Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия.
По определению подобных треугольников:
CF/DF=CG/FJ=4/3
Для простоты обозначим:
CG=h₁
FJ=h₂
S_EBCF=(CB+EF)*h₁/2
S_AEFD=(EF+AD)*h₂/2
S_ABCD=(BC+AD)*(h₁+h₂)/2
Так сумма площадей этих трапеций равна площади большой трапеции, то запишем:
(CB+EF)*h₁/2+(EF+AD)*h₂/2=(BC+AD)*(h₁+h₂)/2
(CB+EF)*h₁+(EF+AD)*h₂=(BC+AD)*(h₁+h₂)
(CB+EF-BC-AD)*h₁=(BC+AD-EF-AD)*h₂
(EF-AD)*h₁=(BC-EF)*h₂
h₁/h₂=(BC-EF)/(EF-AD)
4/3=(14-EF)/(EF-42)
4(EF-42)=3(14-EF)
4*EF-168=42-3*EF
7*EF=210
EF=30
Ответ: EF=30

o Задание №19D5F2

ABCD - трапеция, следовательно, AD||BC.
∠CBD=∠ADB (т.к. это накрест-лежащие углы для параллельных прямых AD и BC).
Рассмотрим отношения сторон:
BC/BD=5/10=1/2
BD/AD=10/20=1/2
Тогда по второму признаку подобия треугольников, треугольники CBD и ADB подобны.

o Задание №6E709C

o Рассмотрим четырехугольник PKBC.
PKBC вписан в окружность, следовательно выполняется условие: сумма противоположных углов четырехугольника равна 180° (условие того, что четырехугольник можно вписать в окружность).
Т.е. ∠PKB+∠BCP=180°
∠PKB+∠AKP=180° (т.к. это смежные углы).
Следовательно, ∠AKP=∠BCP
Рассмотрим треугольники ABC и AKP.
∠AKP=∠BCP (это мы выяснили чуть выше)
∠A - общий, тогда эти треугольники подобны (по признаку подобия).
Следовательно, KP/BC=AK/AC=AP/AB (из определения подобных треугольников).
Нас интересует равенство KP/BC=AP/AB
KP/BC=18/(1,2BC)
KP=18BC/(1,2BC)=15
Ответ: KP=15

o

o Задание №94D2DB

o Про­ведём через точку пря­мую пер­пен­ди­ку­ляр­ную сто­ро­не По­сколь­ку сто­ро­ны и па­рал­лель­ны, также пер­пен­ди­ку­ляр­но и сто­ро­не Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и равно , равно углы и равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны. По­это­му равны их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, равно углы и равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равно Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и равно равно углы и равны как вер­ти­каль­ные.

o

·

o Задание №345EF5

o Проведем отрезок от точки касания стороны AB и окружности через центр окружности к стороне AC. Обозначим точки как показано на рисунке.
AD²=AM*AN (по теореме о касательно и секущей для точки А).
AD²=9*11=99
AD=√99=√9*11=√9*√11=3√11
Рассмотрим треугольник ADE.
Данный треугольник прямоугольный (по свойству касательной).
cos∠BAC=AD/AE (по определению).
AE=AD/cos∠BAC=3√11/(√11/6)=3√11*6/√11=3*6=18
По теореме Пифагора:
AE²=DE²+AD²
18²=DE²+(3√11)²
324=DE²+9*11
DE²=324-99=225
DE=15
EN*EM=EF*DE (по теореме о двух секущих относительно точки E).
(AE-AN)*(AE-AM)=(DE-2R)*DE
(18-11)(18-9)=(15-2R)*15
7*9=(15-2R)*15 |:3
7*3=(15-2R)*5
21=75-10R
10R=75-21=54
R=5,4
Ответ: 5,4

o

o Задание №D78193

o

o Задание №97C14A

o ∠KBP=90° (по условию)
Прямоугольный треугольник KPB с гипотенузой PK вписан в окружность.
Следовательно, PK является диаметром окружности. (по теореме об описанной окружности).
KP=BH=16
Ответ: PK=16

o

o Задание №8D979B

· Сумма углов, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не тра­пе­ции, равна 180°, зна­чит,

·

·

·

· По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник ABF пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом F. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим AB:

·

·

o

o

o

o Задание №53152C

По свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен касательнойAC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по теореме Пифагора:
AO²=AF²+OF²
5²=AF²+3²
25=AF²+9
AF²=16
AF=4=AG
EH - высота параллелограмма. EH=OH+OE=3+4=7
S_ABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда: S_ABCD=2*S_ABC
И в тоже время S_ABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(4+x+x+y+y+4)*3=7*(x+y)
(8+2x+2y)*3=7*(x+y)
24+3(2x+2y)=7*(x+y)
24+6(x+y)=7*(x+y)
24=x+y
x+y=24=BC=AD
S_ABCD=EH*AD=7*24=168
Ответ: S_ABCD=168

o Задание №361445

· Задание №038CAC

медиана BM разделит треугольник ну скажем ABC на 2 треугольника ABM и BMC
ИЗ точки В проведем высоту к стороне АС
Sabm=1/2*AM*H
Sbmc=1/2*MC*H
AM=MC так как BM медиана значит и площади равны

Задание №8B0579

Пусть AD - биссектриса, описанная в условии.
BC - сторона, равная 30.
Рассмотрим треугольник ADC.
Для этого треугольника CO - биссектриса,
По свойству биссектрисы:
AO/OD=AC/CD=40/1
AC=40*CD
Рассмотрим треугольник ABD.
Для этого треугольника BO - биссектриса,
По свойству биссектрисы:
AO/OD=AB/BD=40/1
AB=40*BD
Складываем полученные равенства:
AC+AB=40*CD+40*BD
AC+AB=40(CD+BD), CD+BD=BC=30
AC+AB=40*30
AC+AB=1200
P_ABC=AC+AB+BC=1200+30=1230

· Задание №E65CBC

· Серединный перпендикуляр

o

o Задание №0BB4A3

o Рассмотрим треугольники ABC и ABH.
∠A - общий
∠AHB=∠ABC
Следовательно, эти треугольники подобны (по признаку подобия)
Тогда AC/AB=AB/AH (гипотенуза большого треугольника относится к гипотенузе маленького как малый катет большого треугольника к малому катету маленького треугольника)
24/AB=AB/6
24*6=AB²
144=AB²
AB=12
Ответ: AB=12

o Задание №86DA63

• Про­ведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В четырёхуголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:
• 
• Пе­ри­метр тра­пе­ции — сумма длин всех сто­рон:
• 
• 
• Сле­до­ва­тель­но, Пло­щадь тра­пе­ции можно найти как про­из­ве­де­ние по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:
• 
• Вы­со­ты и равны. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём
• 
• Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, равно равно сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Пря­мые и пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой по­это­му они па­рал­лель­ны, равно , сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, от­ку­да Рас­смот­рим вы­ра­же­ние для от­рез­ка
• 
• По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний на от­рез­ки и
• 
• Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы CAD и BAC равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, углы и равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. От­ку­да:
• 
• Вы­со­та Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние

o

o Задание №495A2B

o Рассмотрим треугольники ADC и CBD.
∠DCA=∠CBA (т.к. ∠DCA равен половине градусной меры дуги CA почетвертому свойству углов, связанных с окружностью, и на эту же дугу опирается вписанный угол CBA, который тоже равен половине градусной меры дуги, на которую опирается по теореме).
∠CDB - общий для обоих треугольников, следовательно, по признаку подобия, треугольники ADC и CBD - подобны.
Следовательно, по определению подобных треугольников запишем:
CD/BD=AC/BC=AD/CD
AC/BC=AM/MB=10/18 (по первому свойству биссектрисы).
Из этих равенств выписываем:
AD=CD*10/18
BD=CD*18/10, (BD=AD+AB=AD+18+10=AD+28)
AD+28=CD*18/10
CD*10/18+28=CD*18/10
28=CD*18/10-CD*10/18
28=(18*18*CD-10*10*CD)/180
28*180=CD(324-100)
CD=28*180/224=180/8=22,5
Ответ: CD=22,5

Дата добавления: 2015-07-11