Точки разрыва. Определение 9.1 требует одновременного выполнения трех условий:

Определение 9.1 требует одновременного выполнения трех условий:

1) должна быть определена в точке , то есть должно существовать ;

2) в точке существует , то есть должны существовать и быть равными два односторонних предела ;

3) должно быть выполнено равенство .

Невыполнение какого-либо из этих условий приводит к нарушению непрерывности функции в точке. В этом случае говорят, что в данной точке функция терпит разрыв.

В технической литературе к точкам разрыва часто относят точки, в которых функция не определена, хотя она определена в некоторой проколотой окрестности такой точки.

Различают три типа разрывов.

I. Устранимый разрыв. Он возникает тогда, когда существует (то есть, ), но (или значение не определено).

Пример 9.1. Функция терпит устранимый разрыв в точке .

Заметим, что в случае устранимого разрыва можно определить функцию

Функция непрерывна в точке и всюду, кроме точки , совпадает с функцией .

II. Разрыв первого рода или скачок. Такой разрыв имеет место, когда односторонние пределы существуют и конечны, но

.

Например, функция (рис. 1.1) терпит разрыв первого рода при любом целочисленном значении .

III. Разрыв второго рода или бесконечный разрыв. Этот тип разрыва возникает тогда, когда хотя бы один из односторонних пределов функции в точке либо не существует, либо бесконечен.

Пример 9.2. Функция в точке терпит разрыв второго рода (см. рис. 9.2).

Рис. 9.2.

Определение 9.2. Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна во всех точках этого множества.

Дата добавления: 2015-07-11