II. Точки разрыва 2 рода

Если хотя бы один из односторонних пределов (или оба) равен бесконечности, х ₀ называется точкой разрыва 2-го рода.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность.

1.

, х = 0 – точка разрыва

2.

х ≤ 1

х > 1

,

3.

, k > 0

4.

, х = 0 – точка разрыва

В примерах 1 и 2 мы имеем точки разрыва первого рода. В примерах 3 и 4 – точки разрыва второго вида.

6.3. Свойства функций, непрерывных в точке.

1.Если f(x) и φ(х) непрерывны в точке х ₀, то их сумма f(x) ± φ(х), произведение f(x) · φ(х) и частное (φ(х₀) ≠ 0) являются непрерывными функциями.

Доказательство вытекает из свойств пределов и определения непрерывности функции в точке.

2.Если функция f(x) непрерывна в точке х ₀, то существует окрестность этой точки, где f(x) сохраняет знак.

3.Если функция у = f(х) непрерывна в точке х ₀, а функция u = φ(x) непрерывна в точке х ₀, то сложная функция f [ φ(x) ] непрерывна в точке х ₀.

Действительно,

, т.е сложная непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке замкнутого отрезка [а,b], называется непрерывной на всем отрезке [а,b].

Проиллюстрируем графически ее свойства.

у

х

а

b

Свойство 1. (Теорема Вейерштрасса)

Если функция у = f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a; b ], то она на нем ограничена (рис.6.9).

Рис. 6.9

m

М

у

х

а

b

ξ

Свойство 2. Если f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке наименьшего – m, и наибольшего – М значений.

Рис. 6.10

Т.е. существует т. ξ₁ [ a, b ] такая, что f(ξ₁)≤f(x) для любого х [ a, b ], f(ξ) = m; и на отрезке [ a, b ] существует ξ₂ (ξ₂= а), такая, что f(ξ₂)≥f(x) для любого х [ a, b ]; f(а)=М. (рис.6.10)

М

у

х

а

b

ξ

m

m

М

μ

Свойство 3. Если f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a; b], то она пробегает на нем все значения между наименьшим и наибольшим.

Пусть m < μ <M, μ – любое.

Рис. 6.11

Существует ξ, а <ξ<b такая, что f(ξ)=μ. (рис.6.11)

у

х

а

b

ξ

Свойство 4. Если непрерывная на замкнутом отрезке [a; b] функция меняет на этом отрезке знак, то на [a; b] найдется точка ξ, в которой f(ξ) = 0 (возможно и не одна) (рис. 6.12)

Рис. 6.12

х

у

а

ξ₁

ξ₂

ξ₃

ξ₄

f (ξ₁) = f(ξ₂) = f(ξ₃) = f(ξ₄) = 0 (рис. 6.13)

Рис. 6.13

Замечание 1. График непрерывной функции представляется на отрезке [ a, b ] сплошной линией.

Замечание 2. Все элементы функции непрерывны в своей области определения.

Замечание 3. Свойства непрерывных функций можно использовать для решения уравнений f(x) = 0 или неравенств вида f(x) > 0 и f(x) < 0.

Дата добавления: 2015-07-11