Непрерывность функции.

Основные определения.

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки .

О п р е д е л е н и е 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и её значение в этой точке совпадают, т.е. . (1)

Так как , то соотношение (1) можно записать в виде , т.е. для непрерывной функции можно переставлять знак функции и знак предела.

О п р е д е л е н и е 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к точке , соответствующая последовательность значений функции в этих точках сходится к .

О п р е д е л е н и е 3. Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует , такое что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если , то функцию называют непрерывной в точке справа (слева). Если функция непрерывна в точке справа и слева, то она непрерывна в этой точке.

Так как условия и равносильны, то неравенство (1) можем переписать в виде

. (2)

Разность называется приращением аргумента в точке , а разность называется приращением функции в точке . Тогда равенство (2) в новых обозначениях принимает вид

, (3)

Соотношение (3) является ещё одним определением непрерывности функции:

О п р е д е л е н и е 4. Функция называется непрерывной в точке , если её приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при , другими словами бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции.

---

Дата добавления: 2015-07-11