Лекция 6. Непрерывность функции.

6.1. Понятие непрерывности функции в точке.

6.2. Точки разрыва, их классификация.

6.3. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

М₀

М

y = f(x)

у₀

у

Δу

х₀

х=х₀+Δх

у

х

Рис. 6.1

6.1. Непрерывность функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в точке х ₀ и в некоторой её окрестности. Значению аргумента х ₀ соответствует значение функции y = f(x), а на кривой точка М₀(х₀,у₀).

Дадим аргументу х ₀ приращение Δ х (Δ х 0)

Значению аргумента х = х₀ + Δ х соответствует значению функции у = f (х) = f (х₀ + Δ х), а на кривой т. М(х,у) приращению аргумента Δ х соответствует приращение функции

Δ у = f(x ₀ + Δ х) – f(x ₀ ).

Определение. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х ₀, если она определена в этой точке и при Δ х → 0 приращение функции Δ у стремится к нулю, т. е.

(6.1.1)

Из равенства (6.1.2) и свойств пределов вытекает: для непрерывной функции

, откуда

т. е. предел функции при х → х ₀ совпадает со значением функции в

этой точке. На основании пределов следует необходимое и достаточное условие непрерывности в точке х ₀.

(6.1.2)

Если в точке х ₀ условия (6.1.2) не выполняются, х ₀ называется точкой разрыва функции f (x), а функция – разрывной в этой точке.

6.2. Классификация точек разрыва.

При анализе точек разрыва могут представляться следующие случаи.

Дата добавления: 2015-07-11