Равномерная непрерывность функций

Понятие непрерывности функции относится к отдельно взятой точке, т.е. является свойством функции в точке. Непрерывность функции f на < a; b > определяется как ее непрерывность в каждой точке этого промежутка.

f (x) непрерывна в т. x ₀ .

Можно доказать, что (на примере )

Проблема: возможна ли ситуация, чтобы d не зависело от x ₀, где x ₀ меняется на < a; b >, т.е. чтобы .

Определение 1. f (x) называется равномерно непрерывной на промежутке < a; b >, если .

Определение 2. f (x) не является равномерно непрерывной на < a; b > если .

Теорема 1. Если f (x) равномерно непрерывна на < a; b >, то она непрерывна на < a; b >.

Доказательство.

Возьмем . По условию для выбранного e .

Пусть x ₂= x ₀, x ₁= x. Тогда выполнено . Значит (по определению) функция непрерывна в точке x ₀, а так как она произвольно взята из промежутка < a; b >, то функция непрерывна на всем промежутке.

Замечание. Обратное утверждение не верно.

Пример. D непрерывна на (0;1). Докажем, что она не является равномерно непрерывной на (0;1).

Пусть . Выберем . Найдем , а . Возьмем " х ₂Î(0;1), а . Тогда ,

.

По определению 2 функция не является равномерно непрерывной на (0;1). D

Теорема 2. (Кантора) Если f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она равномерно непрерывна на [ a; b ].

Доказательство.

(От противного) Пусть f (x) не является равномерно непрерывной на [ a; b ], тогда по определению 2

.

Возьмем последовательность положительных чисел : .

Для найдутся такие точки Î[ a; b ], такие, что , но .

Для Î[ a; b ]: , но .

Для Î[ a; b ]: , но .

................

Для Î[ a; b ]: , но .

...............

Этот процесс продолжаем бесконечно. В результате из [ a; b ] выделится 2 ограниченные последовательности

:

:

Из последовательности по т. Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Покажем, что и сходится к точке x ₀.

.

Так как , то .

Выберем .

Тогда, т.к. , то издвух последгих оценок следует, что для выбранного Û .

По условию f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], следовательно, она непрерывна в точке x ₀Î[ a; b ]. Тогда по определению предела функции по Гейне для последовательностей и соответствующие и последовательности значений функции и должны сходиться к f (x ₀), тогда при , но это противоречит тому что (а, следовательно, и ).

Дата добавления: 2015-07-11