Свойства непрерывных функций

1. Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна в точке x ₀, то она ограничена в некоторой окрестности V (x ₀) этой точки.

Доказательство.

Т.к. f (x) непрерывна в точке x ₀, то согласно определению существует . Следовательно, по теореме о том, что функция, имеющая предел в точке, ограничена в некоторой окрестности этой точки, получаем, что f (x) ограничена в V (x ₀).

Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна в точке x ₀ и (), то .

Доказательство.

Проведем доказательство для .

f (x) непрерывна в точке x ₀, значит, по определению . Тогда по определению предела функции в точке для числа $ d >0 выполнено . Тогда

. Прибавим ко всем частям неравенства , получим: " x Î V (x ₀, d).

Случай доказывается аналогично.

2. Свойства функций, непрерывных на промежутке

Теорема 3. (первая теорема Больцано-Коши). Пусть f (x) непрерывна на [ a; b ] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда существует точка c Î(a; b), такая, что f (c)=0.

Доказательство.

Пусть для определенности f (a)<0, f (b)>0, разделим отрезок [ a; b ] пополам точкой . Если f (c ₁)=0, то теорема доказана и c = c ₁.

Пусть f (c ₁)¹0. Если f (c ₁)<0, то на концах отрезка [ c ₁; b ] f (x) имеет значение разных знаков. Если f (c ₁)>0, то на концах отрезка [ a; c ₁] функция имеет значение разных знаков. Обозначим через [ a ₁; b ₁] ту половину [ a; b ], на концах которой функция принимает значения разных знаков f (a ₁)<0, f (b ₁)>0.

Разделим [ a ₁; b ₁] пополам точкой . Если f (c ₂)=0, то c = c ₂ и теорема доказана. Если f (c ₂)¹0, то положим или в зависимости от того, на каком из отрезков функция принимает значения разных знаков. Получим f (a ₂)<0, f (b ₂)>0. Продолжим процесс деления далее. Возможны два случая:

1) После конечного числа шагов получим точку . Тогда и теорема доказана.

2) В любой точке деления . В этом случае процесс деления продолжается бесконечно. В результате получим последовательность отрезков [ a ₁; b ₁], [ a ₂; b ₂], …[ a_n; b_n ]…, которая является последовательностью вложенных отрезков.

. Длина n -го отрезка . Следовательно, по теореме о вложенных отрезках существует точка с принадлежащая всем отрезкам этой последовательности, при этом .

Так как по условию , то f (x) непрерывна в точке c Î[ a; b ]. По определению по Гейне это означает:

, .

Так как .

Теорема 4 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть и на концах [ a; b ] принимает различные значения f (a)= A, f (b)= B, A ¹ B. Тогда, каково бы ни было число m: A < m < B, на (a; b) найдется точка с: f (c)= m.

Доказательство.

Пусть A < B. Возьмем " m: A < m < B. Рассмотрим вспомогательную функцию на [ a; b ], она непрерывна на [ a; b ] как разность двух непрерывных функций.

.

Значит, для на [ a; b ] выполняется условие первой теоремы Больцано-Коши. Следовательно, .

.

Данная теорема утверждает, что любое число, промежуточное между двумя значениями непрерывной функции, также является значением этой функции.

Первая теорема Больцано - Коши является частным случаем второй (с =0).

Следствие. Если функция f (x), заданная на некотором промежутке D, непрерывна на D, то совокупность ее значений f (D) также представляет собой некоторый промежуток.

Доказательство.

Обозначим (m и M могут быть числами или ). Тогда в f (D) не может быть y: y < m и y > M. Покажем что . Выберем . По определению нижней грани , по определению верхней грани .

Получим , то есть . Тогда по второй теореме Б.-К. .

Mы получили, что .

Концы промежутка (m; M) могут как принадлежать, так и не принадлежать f (D), т.е. f (D) может быть интервалом (m; M), полуинтервалом [ m; M), (m; M ] или отрезком [ m; M ], т.е.

Теорема 5 (первая теорема Вейерштрасса). Если f (x) непрерывна на [ a; b ], то f (x) ограничена на [ a; b ].

Доказательство.

Предположим противное, что f (x) не ограничена на [ a; b ]. Пусть вначале f (x) не ограничена сверху на [ a; b ]. Это значит, что .

M =1 Þ ,

M =2 Þ ,

…………………….

M = n Þ ,

……………………..

В результате получим последовательность (x_n): , т.е. . Следовательно, (x_n) ограничена, а Þ .

По теореме Больцано - Вейерштрасса из ограниченной последовательности (x_n) можно выделить сходящуюся подпоследовательность , . В точке с функция непрерывна, следовательно, - конечное число. С другой стороны, . Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно, значит, f (x) ограничена сверху на [ a; b ].

Аналогично доказывается, что f (x) ограничена снизу на [ a; b ]. Следовательно, f (x) ограничена на [ a; b ].

Замечание. Теорема 5 справедлива только для отрезка.

Пример. D , но не ограничена на нем: .

Действительно, .

1) , возьмем ;

2) , возьмем х - любое из интервала (0;1), . D

Пусть f (x) определена на множестве E.

Определение. Функция f (x) имеет в точке x₀ наибольшее (наименьшее) значение на множестве E, если " x ÎE выполнено .

Если f (x) имеет на E наибольшее значение M, то ; если f (x) имеет на E наименьшее значение m, то . Обратное не всегда верно: f (x) может иметь верхнюю (нижнюю) грань, но не иметь наибольшего (наименьшего) значения.

Пример. D .

,

но наибольшего и наименьшего значений нет. D

Теорема 6 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) непрерывна на [ a; b ], то на этом отрезке она достигает своих нижней и верхней граней (или имеет наибольшее и наименьшее значения).

Доказательство.

Так как , то f (x) ограничена на [ a; b ] (по первой теореме Вейерштрасса). Следовательно, , и " х Î[ a; b ] .

Покажем, что f (x) достигает наибольшего значения M на [ a; b ], т.е. . От противного. Пусть . Рассмотрим вспомогательную функцию , непрерывную как частное двух непрерывных функций (M - f (x)¹0, т. к. f (x)< M). Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса j (х) ограничена на [ a; b ]. Значит, : " х Î[ a; b ]

.

Получили, что число является верхней границей для f (x), но это противоречит тому, что M – наименьшая верхняя граница функции f (x) (по определению sup). Таким образом, предположение неверно и, значит, .

Аналогично доказывается, что . Т.е. непрерывная на отрезке функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

Замечание. Для интервалов и полуинтервалов вторая теорема Вейерштрасса не выполняется.

Например, , но не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Следствие 1. Если , то множеством ее значений будет [ m; M ], где .

Следствие 2. 1) Если f (x) непрерывна и возрастает на [ a; b ], то множеством ее значений будет .

2) Если f (x) непрерывна и убывает на [ a; b ], то множество ее значений будет .

Дата добавления: 2015-07-11