Непрерывность элементарных функций

1. Определение элементарной функции

Основные элементарные функции:

- степенная,

, - показательная,

- логарифмическая,

- тригонометрические,

- обратные тригонометрические.

Определение. Элементарной называется функция, которая получается из основных элементарных функций путем конечного числа композиций и четырех арифметических операций.

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Доказательство следует из утверждений:

1) основные элементарные функции непрерывны в своей области определения;

2) арифметические действия над непрерывными функциями дают непрерывные функции;

3) композиция непрерывных функций есть непрерывная функция;

4) функция, обратная непрерывной, является непрерывной.

Пример. D - элементарная функция . D

2. Степенная функция.

Рассмотрим степенную функцию у = х^m, где . Она имеет то или иное конкретное содержание в зависимости от значений m (см. Бохан К. А. т.1 с.55 – самостоятельно). В любом случае она определена при х >0.

Из определения логарифма и свойств показательной функции следует

.

Тогда из монотонности показательной и логарифмической функции следует, что степенная функция тоже монотонна: возрастает при m >0 и убывает при. m <0. Покажем это. Степенная функция является композицией функций y = a^t и t = m ×log _ax.

1) Пусть m >0.

а) При a >1 функции y = a^t и t = m ×log _ax возрастают. Следовательно, степенная функция возрастает как композиция двух возрастающих функций.

б) При 0< a <1 функции y = a^t и t = m ×log _ax убывают. Следовательно, степенная функция возрастает как композиция двух убывающих функций.

2) Пусть m <0.

а) При a >1функция y = a^t возрастает, а t = m ×log _ax - убывает. Следовательно, степенная функция убывает как композиция возрастающей и убывающей функции.

б) При 0< a <1 функция y = a^t убывает, а функция t = m ×log _ax возрастает. Следовательно, степенная функция убывает как композиция убывающей и возрастающей функции.

При m =0 степенная функция обращается в постоянную: х ⁰º1.

Из непрерывности показательной и логарифмической функции и теоремы о непрерывности сложной функции следует, что степенная функция непрерывна на своей области определения. Действительно, имеем

.

3. Показательно - степенная функция

Показательно-степенной функцией называется функция вида , она определена .

По свойству логарифма можно записать: , тогда

. (1)

Рассмотрим композицию функций: . Если и непрерывны, то в силу непрерывности логарифма и показательной функции (1) непрерывна.

1) Пусть , , А и В - числа.

Выясним, чему равен .

.

В силу непрерывности показательной функции

. (2)

В (2) может быть числом, , либо можно рассматривать односторонние пределы.

Из (2) следует .

2) Но является неопределенностью в следующих случаях:

а) B =0, ln A =+¥ Þ A =+¥, тогда ;

б) B =0, ln A =-¥ Þ A =0, тогда ;

в) B =¥, ln A =0 Þ A =1, тогда .

Пример. D а) ;

б) . D

4. Гиперболические функции

Частным случаем показательной функции является . Через e^x определяются гиперболические функции:

- гиперболический синус;

- гиперболический косинус;

- гиперболический тангенс;

- гиперболический котангенс.

Все гиперболические функции являются элементарными, так как являются результатом арифметических операций над показательными функциями e^x и e^-x. Следовательно, они являются непрерывными в своих областях определения. Название "гиперболические" они получили потому, что удовлетворяют уравнению гиперболы , подобно тому, как тригонометрические функции X =cos x, Y =sin x называют "круговыми", т.к. удовлетворяют уравнению окружности . Названия гиперболический синус, косинус, тангенс, котангенс происходит от того, что между ними имеют место соотношения, напоминающие или совпадающие с соответствующими соотношениями между тригонометрическими функциями.

; ;

; .

sh x, ch x, th x определены на , cth x определена на .

5.Обратные тригонометрические функции

1. Рассмотрим на -возрастает и непрерывна на D (f), E (f)=[-1;1]. Значит, эта она имеет обратную функцию, определенную, возрастающую и непрерывную на [-1;1]. Эта функция обозначается , D (arcsin x)=[-1;1], .

Arcsin x - это такой угол из , синус которого равен x.

2. Рассмотрим f (x)=cos x на D =[0; p ] - непрерывна и убывает, E (f)=[-1;1]. Следовательно, существует обратная функция, определенная, непрерывная и убывающая на [-1;1]. Она обозначается y =arccos x, D (arccos x)=[-1;1], E(arccos x)=[0; p ]. Arccos x - это такой угол из [0; p ], косинус которого равен х.

3.Рассмотрим f (x)=tg x на - непрерывна и возрастает, . Следовательно, существует обратная функция, определенная, непрерывная и возрастающая на . Обозначается y =arctg x, D(arctg x)= . Arctg x - это такой угол из , тангенс которого равен х.

4. Рассмотрим f (x)=сtg x на - непрерывна и убывает, . Значит, существует обратная функция, определенная, непрерывная и убывающая на . Обозначается y =arсctg x, D(arсctg x)= , . Arctg x - это такой угол из , котангенс которого равен х.

Имеют место тождества:

, .

Дата добавления: 2015-07-11