Точки разрыва и их классификация

Согласно определению 1 функция f (x)непрерывна в точке x ₀, если

(1)

Очевидно, что условие (1) предполагает выполнение одновременно следующих условий:

1) , т.е. ;

2) ;

3) .

Если в точке x ₀ хотя бы одно из условий не выполняется, то не выполняется (1), следовательно, в точке x ₀ функция является разрывной, значит, x ₀ - точка разрыва функции f (x).

Определение 1. Точка x ₀ разрыва функции f (x) называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы f (x ₀-0), f (x ₀+0).

Величина называется скачком функции в точке x ₀.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию

D Функция непрерывна на , в том числе на . Функция непрерывна на , в том числе на . Исследуем на разрыв точку х =1.

. Следовательно, х =1 - точка разрыва I рода.

. D

Определение 2. Точка x ₀ разрыва функции f (x) называется точкой устранимого разрыва, если , т.е. (но либо , либо ).

Если x ₀ - точка устранимого разрыва, то разрыв можно устранить, если доопределить или переопределить функцию в точке x ₀, положив . Тогда непрерывна в точке x ₀.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

D .

Функция является непрерывной на D (f) (отношение двух многочленов). Исследуем точку х =-2.

.

Значит, х =-2 - точка устранимого разрыва.

Доопределим функцию в точке х =-2:

.

непрерывна в точке х =-2. D

Определение 3. Точка x ₀ разрыва функции f (x) называется точкой разрыва II рода, если в точке x ₀ не существует или равен бесконечности хотя бы один из односторонних пределов.

Пример 3. Исследовать на непрерывность

D функция непрерывна на D (f) (композиция непрерывных функций), исследуем точку x =-1.

, . Следовательно, x =-1 - точка разрыва второго рода ().D

Дата добавления: 2015-07-11