Читайте также:
|
|
Теорема. Пусть f (x) строго монотонна (т.е. или возрастает, или убывает) и непрерывна на . Тогда существует обратная функция
определенная, строго монотонная и непрерывная на E (f).
Доказательство.
Пусть функция y = f (x) непрерывна и монотонна на
, ее множество значений промежуток с концами
. По теореме о существовании обратной функции существует обратная функция
, определенная и строго монотонная на E (f). Причем, если f (x) возрастает (убывает) то и обратная функция возрастает (убывает).
Докажем, что
непрерывна на E (f). Доказательство проведем для возрастающей функции
.
Возьмем
.
Докажем, что непрерывна в точке y 0. По определению надо доказать, что
выполнено
.
Возьмем , рассмотрим
. Так как
и функция возрастает, то
.
Обозначим ,
,
положим , т.е.
и
.
Тогда
. (1)
Возьмем , удовлетворяющее неравенству
,
(2)
Тогда из (1) и (2) следует, что . (3)
Так как возрастает, то из (3) следует
, т.е.
.
Получили, что
выполнено
. Значит,
непрерывна в точке y 0. Т.к. y 0 - произвольная точка из E (f), то
непрерывна на E (f).
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 111 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Свойства непрерывных функций | | | Непрерывность элементарных функций |