Непрерывность обратной функции

Теорема. Пусть f (x) строго монотонна (т.е. или возрастает, или убывает) и непрерывна на . Тогда существует обратная функция определенная, строго монотонная и непрерывная на E (f).

Доказательство.

Пусть функция y = f (x) непрерывна и монотонна на , ее множество значений промежуток с концами . По теореме о существовании обратной функции существует обратная функция , определенная и строго монотонная на E (f). Причем, если f (x) возрастает (убывает) то и обратная функция возрастает (убывает).

Докажем, что непрерывна на E (f). Доказательство проведем для возрастающей функции .

Возьмем

.

Докажем, что непрерывна в точке y ₀. По определению надо доказать, что выполнено .

Возьмем , рассмотрим . Так как и функция возрастает, то .

Обозначим ,

,

положим , т.е. и .

Тогда

. (1)

Возьмем , удовлетворяющее неравенству , (2)

Тогда из (1) и (2) следует, что . (3)

Так как возрастает, то из (3) следует , т.е. .

Получили, что выполнено . Значит, непрерывна в точке y ₀. Т.к. y ₀ - произвольная точка из E (f), то непрерывна на E (f).

Дата добавления: 2015-07-11