Непрерывность функции

1. Основные определения

Пусть функция f (x) определена в окрестности точки x ₀ V (x ₀), x ₀Î .

Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке x ₀, если она в этой точке имеет предел, равный значению функции в этой точке, т.е. если

. (1)

Определение 2. (по Гейне) Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если , выполнено .

Определение 3. (по Коши) f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если выполнено .

Определение 4. (в терминах окрестностей) Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если выполнено .

Равенство (1) Û . (2).

Обозначим - приращение аргумента в точке х ₀, - соответствующее приращение функции в точке х ₀. Если , то . Значит, (2) Û .

Следовательно, получим эквивалентное определение.

Определение 5. Функция f (x) непрерывна в точке x ₀, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .

Определение 6. Если функция f (x) не является непрерывной в точке x ₀, (т.е. если не выполняется условие (1)), то она называется разрывной в точке x ₀, а точка x ₀ называется точкой разрыва функции f (x).

Точку x ₀, в которой функция не определена, но определена в , также будем называть точкой разрыва, хотя в ней равенство (1) вообще не определено (нет правой части).

Пример. непрерывна в любой точке .

D Придадим значению аргумента x ₀ приращение , получим точку . Тогда функция получит приращение

;

.

Следовательно, непрерывна в любой точке .D

Определение 7. Функция f (x) называется непрерывной слева (справа) в точке x ₀, если ().

Теорема 1. Для того, чтобы функция f (x) была непрерывна в точке x ₀ необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке слева и справа.

Доказательство следует из определения непрерывности и теоремы об односторонних пределах (доказать самостоятельно).

Определение 8. Функция f (x)называется непрерывной на множестве Е, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Если Е=[ a; b ], то функция непрерывна на [ a; b ], если она непрерывна на (a; b), а в точке а непрерывна справа и в точке b непрерывна слева.

Множество всех точек, непрерывных на отрезке [ a; b ], обозначается С[ a; b ].

Например, - значит непрерывна на [ a; b ]

Например, непрерывна на (см. пример).

2. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного

Теорема 2. Если функции f (x) и g (x), непрерывны в точке x ₀, то (если ) непрерывны в точке x ₀.

Доказательство.

Доказательство следует из теоремы об арифметических операциях над пределами и определения непрерывности. Докажем для .

Так как и непрерывны в точке x ₀, то по определению 1 и . Тогда по теореме о пределе суммы = .

Следовательно, функция непрерывна в точке x ₀.

Следствие. Если функции f (x) и g (x), непрерывны на D=< a; b >, то на D непрерывны функции (если на D).

3. Непрерывность некоторых основных элементарных функций

1. .

D . Значит, непрерывна на .D

2. .

D . Значит, f (x)= x непрерывна на .D

3. .

D . Следовательно, непрерывна на .D

4. .

D (из п.3 и т.2). Значит, непрерывна на .D

5. -непрерывна , кроме точек, в которых , как частное непрерывных функций.

6. .

D Придадим произвольной точке приращение , получим точку , тогда функция получит приращение:

.

Надо показать, что , т. е. " e >0 $ d >0: "D x: |D x| < d Þ |D f (x ₀)|< e

Û . (*)

Т. к. , то если |D x| < e, значит выполнено и неравенство (*). Поэтому надо взять d £ e.

Значит, непрерывна Þ непрерывна на .D

7. непрерывна на (доказательство аналогично ).

8. непрерывна как частное двух непрерывных функций.

9. непрерывна как частное двух непрерывных функций.

10. , D (f)= .

D Пусть . Рассмотрим случай a >1 (0< a <1 - аналогично)

1) Докажем, что функция непрерывна в точке x ₀ справа, т.е. .

Выберем " e >0. Найдем d >0: " x: x ₀< x < x ₀+ d Û 0< x - x ₀< d выполнено неравенство (3)

.

Т.к. , то , следовательно, неравенство (3) равносильно Û

. (4)

Положим . Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству x - x ₀< d выполнено неравенство (4), а, значит, и неравенство (3). Следовательно, .

2) Докажем что функция непрерывна в точке x ₀ слева, т. е. .

Выберем " e >0. Найдем d >0: " x: x ₀ - d < x < x ₀ Û - d < x - x ₀<0 выполнено неравенство (3).

Т.к. , то

.

Значит, неравенство (3) равносильно

. (5)

Возьмем Û . Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству x - x ₀>- d выполнено неравенство (5), а, значит, и неравенство (3). Следовательно, .

Из 1), 2) следует что функция f (x)= a^x непрерывна в точке x ₀, т. е. . Т. к. x ₀ Î – произвольная точка, то показательная функция непрерывна на . D

11. (a >0, a ¹1), D (f)=(0;+¥), непрерывна как функция, обратная к показательной (теорема будет доказана позже).

4. Непрерывность сложной функции

Пусть функция t = g (x) определена на D (g), а функция y = f (t) определена на D (f), и " x Î D (g) t =g(x)Î D (f). Тогда на D (g) определена сложная функция y = h (x)= f (g (x)).

Теорема 3. Если функция t = g (x) непрерывна в точке x ₀Î D (g), а функция y = f (t) непрерывна в точке , то сложная функция f (g (x)) непрерывна в точке x ₀, т.е. . (6)

Доказательство следует из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределе сложной функции.

Замечание. Так как , то из (6) следует

, (7)

т.е. операция предела переставима с операцией вычисления непрерывной функции. Причем (7) выполняется и в том случае когда g (x) не является непрерывной в точке x ₀.

Следствие. Если функция t = g (x) непрерывна на D (g), а y = f (t) непрерывна на D (f), то сложная функция y=f (g (x)) непрерывна на D (g).

Пример. а) Доказать, что непрерывна на .

D I способ. Данная функция сложная: . Функция непрерывна на , непрерывна на Þ непрерывна на .

II способ.

. Значит, функция непрерывна в Þ непрерывна на . D

б) Исследовать на непрерывность функцию .

D определена и непрерывна в любой точке , определена и непрерывна на , значит, определена и непрерывна Û . Значит, непрерывна на . D

5. Применение непрерывности функций при вычислении пределов

Пример 1. Доказать .

D D

Частный случай .

Пример 2. Доказать .

D Введем новую переменную . Тогда

. D

Частный случай .

Пример 3. Доказать .

D . D

Пример 4. D . D

Дата добавления: 2015-07-11