Непрерывность функции. Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела

Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела, является одним из основных понятий математического анализа.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x ₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в точке x ₀ (т.е. существует f(x ₀ )),

2) имеет конечный предел функции при ,

3) этот предел равен значению функции в точке x ₀, т.е. .

Пример: Исследовать непрерывность в точке заданных функций:

1) , 2) 3) 4) .

Решение. 1) в точке функция не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности – существование .

2) в точке функция не является непрерывной – первое условие непрерывности выполнено, существует , но нарушено второе условие – отсутствует (точнее говоря, здесь существуют односторонние пределы функции слева и справа , но общего предела при не существует).

3) в точке функция не является непрерывной – первое и второе условие непрерывности выполнены, существует и конечный предел , но нарушено третье основное условие .

4) в точке функция непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности: , и .

Определение непрерывности функции в точке x ₀ может быть записано и так:

,

т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от бумаги).

Сформулируем второе определение непрерывности.

Дадим аргументу x ₀ приращение . Тогда функция получит приращение , определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: .

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x ₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Точка x ₀ называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной.

Различают точки разрыва первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , нe равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует).

К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен значению функции в этой точке.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) если функции и непрерывны в точке x ₀, то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке x ₀.

2) если функция непрерывна в точке x ₀ и , то существует такая окрестность точки x ₀, в которой .

3) если функция непрерывна в точке u ₀, а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке x ₀.

Функция называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1) если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (рис.1).

2) если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (теорема Вейерштрасса) (рис.2).

3) если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка , такая, что (теорема Больцано-Коши) (рис.3).

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Дата добавления: 2015-07-11