Решение. а) функция на каждом из интервалов своего задания является непрерывной

а) функция на каждом из интервалов своего задания является непрерывной. Она может терпеть разрыв лишь в точках и , в которых изменяется формула, определяющая функцию. Для исследования функции в указанных точках вычислим и сравним в них пределы слева и справа.

Рассмотрим точку . Вычислим в ней односторонние пределы:

,

.

Пределы функции в точке слева и справа равны. Следовательно, . Поскольку , функция непрерывна в точке .

Рассмотрим точку :

,

.

Оба предела функции в точке существуют, но они не равны друг другу. Следовательно, в этой точке функция терпит разрыв I рода.

Ответ: в точке функция терпит разрыв I рода, во всех остальных точках она непрерывна.

б) Функция определена для всех . В точке не существует конечного предела слева:

.

Ответ: функция непрерывна во всех точках , кроме точки , где она терпит разрыв II рода.

в) Функция определена для всех . Раскрывая по определению модуль, получим:

, при ;

, при .

Следовательно,

, .

В точке функция имеет разрыв I рода.

Ответ: функция непрерывна во всех точках , кроме точки , где она терпит разрыв I рода.

г) Функция определена для всех . Она может терпеть разрыв лишь при . Вычислим в ней односторонние пределы:

,

.

Они существуют, но не равны друг другу. Следовательно, в точке функция имеет разрыв I рода.

Ответ: функция непрерывна во всех точках , кроме точки , где она терпит разрыв I рода.

д) Функция определена для всех . Она может терпеть разрыв лишь при . Предел слева в этой точке:

,

так как . При вычислении предела справа учтем, что . Тогда

.

Следовательно, в точке функция имеет разрыв I рода.

Ответ: функция непрерывна во всех точках , кроме точки , где она терпит разрыв I рода.

Задача 2. Функция определена для всех , кроме точки . Доопределить ее в точке так, чтобы новая функция была непрерывна при всех значениях :

а) при ;

б)

Дата добавления: 2015-07-11