Объединение Двух Кривых Безье с соблюдением C1-Непрерывности

Раз уж кривая Безье касательна своим крайним сегментам, почему бы не объединить две в одну? - спросите вы. Я отвечу - запросто. Ну, может, и не очень запросто, но можно. Пусть первая кривая описывается m + 1 контрольными точками p ₀, p ₁, p ₂,..., p _m, и поэтому ее степень равна m. Пусть вторая кривая описывается n + 1 контрольными точками q ₀, q ₁, q ₂,..., q _n, и поэтому ее степень равна n. Если мы хотим объединить эти две кривые в одну, p _m должно быть равно q ₀. Это гарантирует объединению непрерывность C ⁰. И первая, и вторая кривые касательны крайним сегментам. Следовательно, чтобы получить гладкий переход, p _{m -1}, p _m = q ₀ и q ₁ должны лежать на одной прямой, на которой направления от p _{m -1} к p _m и от q ₀ к q ₁ совпадают. Это показано ниже.

Хотя объединение двух кривых Безье таким способом выглядит гладким, оно все-таки является лишь C ⁰-непрерывным, но не C ¹. Тем не менее, оно является G ¹-непрерывным, потому что направления касательных веткоров одинаковы и, значит, у них общая касательная. Чтобы получить непрерывность C ¹, нам нужно убедиться, что касательный вектор при u = 1 на первой кривой, p '(1), и касательный вектор вектор при u = 0 на второй кривой, совпадают. То есть, должно выполняться следующее:

m (p _m - p _{m -1}) = n (q ₁ - q ₀)

Это соотношение означает, что для того, чтобы получить непрерывность C ¹ в точке перехода, нужно, чтобы отношение длин последнего сегмента первой кривой (т.e. | p _m - p _{m -1}|) и первого сегмента второй кривой (т.e. | q ₁ - q ₀|) должно быть равно n / m. Так как степени m и n фиксированы, можно переместить p _{m -1} или q ₁ в такое положение, чтобы вышеуказанное соотношение выполнялось.

На следующем рисунке слева изображены две кривые Безье - 4-й степени (слева) и 5-й степени (справа). Так как последний сегмент первой кривой и первый сегмент второй кривой не лежат на одной прямой, кривые соединяются не гладко. На рисунке справа кривые 4-й и 7-й степени в месте соединяются сегментами, лежащими на одной прямой. Тем не менее, они не являются C ¹-непрерывными. Кривая слева - 4-й степени, а справа - 7-й. Но отношение их смежных сегментов близко к единице, а не к 7/4=1.75. Чтобы получить непрерывность C ¹, нужно увеличить длину последнего сегмента первой кривой, или, соответственно, уменьшить длину первого сегмента второй кривой. Как бы то ни было, соединение уже является G ¹-непрерывным.

Есть еще одно интересное применение этого свойства. Если взять совпадающие первую и последнюю контрольные точки, (т.e. p ₀ = p _n), а p ₁, p ₀ и p _{n -1} лежащими на одной прямой, полученная кривая Безье будет замкнутой и G ¹-непрерывной в точке соединения, как показано на рисунке ниже:

Заметьте, что, хотя вышеуказанная кривая и похожа на эллипс, эллипсом она не является, потому что эта кривая - 6 степени, а кривые Безье - это полиномы, которыми нельзя описать окружности и эллипсы.

Дата добавления: 2015-10-29