Рациональные Кривые

Параметрическое представление с помощью полиномов просто недостаточно, потому что во многих случаях (например, окружности, эллипсы и гиперболы) невозможно представить кривую в таком виде. Один из способов решения проблемы - использование [homogeneous] координат. Например, кривая в пространстве (соотв., на плоскости) представляется четырьмя (соотв., тремя) функциями, а не тремя:

Кривая в пространстве: F (u) = (x (u), y (u), z (u), w (u))
Кривая на плоскости: F (u) = (x (u), y (u), w (u)),

где u - это параметр на каком-то закрытом промежутке [ a, b ]. Преобразовывая эти кривые к обычному виду, получаем:

Кривая в пространстве: f (u) = (x (u) / w (u), y (u) / w (u), z (u) / w (u))
Кривая на плоскости: f (u) = (x (u) / w (u), y (u) / w (u))

Очевидно, если w (u) = 1, т.е. постоянная функция, [homogeneous] вид сводится к стандартному.

Параметрическая кривая в [homogeneous] виде называется рациональной кривой. Для отличия, будем называть кривую в виде многочлена полиномиальной кривой.

Пример

Возьмем параметрическую форму второго порядка:

x = f (u) = au ² + bu + c
y = g (u) = pu ² + qu + r

Пусть область u все действительные числа. Затем, пусть u пробегает значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Значения x и y также будут изменяться от минус до плюс бесконечности. Другими словами, кривая, описываемая в вышеуказанном виде, содержит по, крайней мере, одну точку в бесконечности. Так как все точки окружности в конечных пределах, невозможно представить окружность в таком параметрическом виде. Это показывает неудобность параметрического вида.

Того же самого можно достичь при помощи вычислений:

Примем a и p не равными нулю. Делим уравнения соответственно на a и p:

Теперь вычитаем второе из первого, чтобы исключить u ². Затем, решая относительно u, получаем:

В итоге, подставляя u обратно в первое уравнение (параметрическую форму), имеем:

Устранив знаменатели и приведя подобные, получим:

,

где

Заметьте, нам не нужны значения D, E and F для описания этой кривой второго порядка. Так как B ²-4 A × C =0 (см. Простые Кривые и Поверхности), эта кривая - парабола. Задача в разделе " Задачи " разъясняет некоторые недостатки в вышеизложенных вычислениях.

Дата добавления: 2015-10-29