Перемещение Контрольных Точек

Изменение положения контрольной точки изменит форму кривой Безье. Спрашивается:

Как изменится форма кривой, если контрольную точку переместить в новое положение?

Допустим, контр. точка P _k перешла в новое положение P _k + v, где вектор v определяет как направление, так и длину перемещения. Это показано на рисунке:

Пусть новой кривой Безье будет C (u), а оригинальная кривая будет описываться как

Подставляя P _k + v в уравнение кривой Безье C (u) получаем следующее:

Выше, так как только k -ый член описывает отличную от остаьлных контрольную точку P _k + v, после перегруппировки получаем, что новая кривая - это сумма исходной кривой и дополнительного члена B_n,k (u) v. Это значит:

соответствующая u точка на новой кривой получается переносом соответствующей точки на исходной кривой на вектор B_n,k (u)v.

Более точно, дано u, имеем точку p (u) на исходной кривой и C (u) на новой кривой, C (u) = p (u) + B_n,k (u) v. Так как v указывает направление движения, C (u) - это результат перемещения p (u) в том же направлении. Длина переноса, конечно, - это длина вектора B_n,k (u) v.

Следующий рисунок поясняет этот эффект. И черная, и красная линии - кривые Безье 8 степени, построенные по 9 контрольным точкам. Черная кривая - исходная. Если ее контроьлную точку 3 переместить по вектору, показанному фиолетовым, черная кривая перейдет в красную. На каждой из этих двух кривых есть точка, соответствующая u =0.5. Ясно, что p (0.5) перемещается в том же направлении к C (0.5). Расстояние между p (0.5) и C (0.5) - длина вектора B (0.5) v = 8!/(3!(8-3)!)×0.5³(1-0.5)^8-3 v = 0.22 v. Отсюда, расстояние равно примерно 22% расстояния между исходным положенем контр. точки 3 и ее новым положением, как показано на рисунке ниже.

Из сказанного можно сделать еще одно полезное заключение. Так как B_n,k (u) не равно 0 на открытом интервале (0,1), B_n,k (u) v - ненулевой вектор на (0,1). Это значит, что помимо двух конечных точек p (0) и p (1), все точки исходной кривой переместятся в новые положения. Таким образом,

Дата добавления: 2015-10-29