Параметризация По Длине Дуги

Так как разные параметрические виды одной и той же кривой могут давать разные результаты, вы, конечно, захотите спросить: какого фига? Точнее, вы спросите: есть ли такая параметризация, которой можно доверять всегда? Я отвечу: да, есть. Математики уже это давным-давно решили и пошли пить пиво. Они придумали использовать длину дуги в качестве параметра.

Пусть отрзок прямой имеет длину s. Можно параметризовать эту кривую так, что f (u) будет обозначать точку, имеющую расстояние u от начальной f (0), где u между 0 и s. С такой параметризацией с помощью длины дуги, когда u изменяется от 0 до s, f (u) движется по кривой от f (0) до f (s) с постоянной скоростью. Таким образом, касательный вектор, показатель скорости, является единичным. И не только это, много формул упрощается.

Почему бы тогда не использовать параметризацию по длине дуги везде подряд? Ответ прост. В теории эта параметризация проста и красива, но когда дело доходит до расчетов, становится тяжко. Находить длину дуги иногда очень трудно, потому что часто в таких случаях в функции используются квадратные корни и т.д.

Так что ну ее нафиг, эту параметризацию по длине дуги. Не будем ее юзать, и так проживем.

Геометрическая Непрерывность

Многие из C ¹ непрерывных кривых непрерывны по кривизне, но не C ² в точке перехода, а некоторые из них даже и не дифференцируемы дважды. Они выглядят гладко в точке перехода, а также при переходе от одного отрезка к другому. Более того, как упоминалось ранее, после замены переменных, некоторые из них могут стать C ² в точке перехода. Но такую параметризацию еще фиг найдешь. Так что мы сделаем отступление, изменим формулировку C ²:

Два отрезка кривых называются G^k геометрически непрерывными в точке перехода тогда и только тогда, когда все i -ые производные, i <= k, вычисляемые с помощью параметризации по длине дуги, равны в точке перехода.

Блин, опять эта длина дуги. Да ладно, не обращай внимания, прилежный читатель 8-], все будет ОК. Вот тебе нормальное определение:

Два отрезка кривых называются G^k геометрически непрерывными тогда и только тогда, когда существует две параметризации, по одной на отрезок, причем такие, что все i -ые производные, i <= k, вычисляемые с помощью этих параметризаций, равны в точке перехода.

Хорошо конечно, но все равно как-то хреново. Как эти параметризации-то искать? К счастью, случаи k = 1 и k = 2 очень просты. Начнем с случая k =1.

Два C0 отрезка кривых называются G1 геометрически непрерывными в точке перехода тогда и только тогда, когда векторы f'(u) и g'(v) направлены в одну сторону в точке перехода. Заметьте, f'(u) и g'(v) вычисляются в точке перехода.

Так как касательные векторы в точке перехода направлены в одну сторону, кривые имеют общую касательную. Тем не менее, обратное не верно. Точнее, то, что два отрезка кривых имеют общую касательную, еще не значит, что они G ¹-непрерывны в точке перехода. На следующем рисунке, кривые f (u) и g (v) имеют общую точку, в которой у них общая касательная. Тем не менее, касательные векторы направлены в разные стороны, и в итоге отрезки не G ¹ в точке перехода. По такому определению, все кривые из примеров - G ¹ в точках перехода.

G. Neilson нашел очень простую формулу для непрерывности G ²:

Два C1 отрезка кривых называются G2 геометрически непрерывными в точке перехода тогда и только тогда, когда вектор f''(u) - g''(v) параллелен касательному в точке перехода. Заметьте, f''(u) и g''(v) вычисляются в точке перехода.

Красота этой формулировки в том, что не важно, какую параметризацию вибирать. Но перед этим надо проверить на непрерывность C ¹.

Вот пример, иллюстрирующий это. Возьмем следующие отрезки парабол, сходящиеся в точке (0, 1, 0):

f (u) = (-1 + u ², 2 u - u ², 0)
g (v) = (2 u - u ², 1 - u ², 0)

Оба отрезка имеют интервал [0, 1]. Точка перехода f (1) = g (0) = (0, 1, 0).

Вот вычисления:

f '(u) = (2 u, 2 - 2 u, 0)
f ''(u) = (2, -2, 0)
f '(u) × f ''(u) = (0, 0, -4)
| f '(u) | = 2 SQRT (1 - 2 u + 2 u ²)
| f '(u) × f ''(u) | = 4
k (u) = 1/(2(1 - 2 u + 2 u ²)^1.5)

g '(v) = (2 - 2 v, -2 v, 0)
g ''(v) = (-2, -2, 0)
g '(v) × g ''(v) = (0, 0, -4)
| g '(v) | = 2 SQRT (1 - 2 v + 2 v ²)
| g '(v) × g ''(v) | = 4
k (v) = 1/(2(1 - 2 v + 2 v ²)^1.5)

Из f '(1) = g '(0) = (2, 0, 0), получаем, что эти два отрезка C ¹ в точке перехода. Так как f ''(1) = (2, -2, 0) не равно g ''(0) = (-2, -2, 0), они не C ². Но, так как функции их кривизны одинаковы, можно ожидать, что переход в точке соединения будет гладким.

Проверим на G ². Так как кривые C ¹, стоит проверить их на G ². Так как f ''(1) - g ''(0) = (4, 0, 0) параллелен касательному вектору (2, 0, 0) в точке перехода, эти отрезки G ² непрерывны в точке перехода (0, 1, 0).

По определению G^k, можно найти две параметризации, не обязательно по длине дуги, такие, что заново параметризованные отрезки будут C ².

Дата добавления: 2015-10-29