Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Построение Кривых Безье

Читайте также:
  1. Алгоритм De Boor для Кривых NURBS
  2. Важные Свойства Кривых NURBS
  3. Введение Узла для Кривых NURBS
  4. Глобальная Аппроксимация Кривых
  5. Групповой сдвиг кривых по глубине
  6. Деление окружности на равные части и построение правильных вписанных многоугольников
  7. Задание 1. Построение, анализ и решение исходной модели.

Дано n +1 точек p 0, p 1, p 2,... и p n в пространстве - контрольные точки. Кривая Безье, описываемая этими точками -

,

где коэффициенты, коэффициенты Безье, равны:

Таким образом, точка, соответствующая u на кривой Безье - это "среднее взвешенное" между всеми точками, где вес каждой точки - это коэффициент Bn , i (u). Отрезки p 0 p 1, p 1 p 2,..., p n -1 p n, называются сегментами ["legs" - ноги 8-) ], они образуют контрольную ломаную. Некоторые авторы называют эту ломаную контрольным многоугольником. Функции Bn , i (u), 0 <= i <= n, обычно называют функциями базиса[basis] Безье.

Заметьте, что u в пределах [0,1]. Поэтому все коэффициенты неотрицательны. Далее, так как и u, и i могут равняться 0, как и 1 - u и n - i, примем неопределенность 00 равной 1. Далее показана кривая Безье, построенная по 11 контрольным точкам, для синей точки на кривой u =0.4. Как видно с рисунка, кривая более или менее следует за ломаной.

Важны следующие свойства кривых Безье:

  1. Степень кривой Безье, посторенной по n +1 контрольным точкам, равна n:
    В каждом коэффициенте, показатель степени u равен i + (n - i) = n. Таким образом, степень кривой равна n.
  2. p(u) проходит через p0 и p n:
    Это изображено на рисунке выше. Кривая, показана красным, проходит через первую и последнюю контрольные точки.
  3. Неотрицательность:
    Все коэффициенты кривых Безье неотрицательны, как уже говорилось раньше.
  4. Деление Единства [Partition of Unity]:
    Количество коэффициентов Безье равно n + 1. Более того, их сумма равна 1. Все коэффициенты Безье - коэффициенты в разложении выражения 1 = (u + (1 - u)) n. Отсюда, их сумма равна 1. А так как они неотрицательны, получаем, что каждый из них находится в пределах от 0 до 1.

На рисунке слева кривая Безье, построенная по пяти контрольным точкам. Ее коэффициенты Безье - это функции от u, показаны на рисунке справа. Рисунок показывает u =0.5 и пять коэффициентов Безье. А вертикальная линия показывает деление 1 на пять интервалов, отсюда название деление единства. Заметьте, цвета в делении те же, что и у коэффициентов Безье.

Так как все коэффициенты Безье в пределах от 0 до 1, каждый из них можно представить как вес при вычислении среднего взвешенного. Точнее, можно сказать "чтобы вычислить p (u), берем вес Bn,i (u) для контрольной точки p i и суммируем их все."

  1. Свойство Ограничивающего Многоугольника:
    Это значит, что кривая Безье, постороенная по данным n + 1 точкам, лежит польностью внутри ограничивающего многоугольника данных точек. Ограничивающий многоугольник для набора точек - это наименьший многоугольник, содержащий все эти точки. Отрезок, соединяющий две соседние точки в огр. многоугольнике, также содержится в нем. На рисунке ограничивающий многоугольник показан серым цветом. Заметьте, не все контрольные точки лежат на сторонах огр. многоугольника. Например, контрольные точки 3, 4, 5, 6, 8 и 9 находятся внутри него. Кривая, за исключением крайних точек, находится полностью внутри огр. многоугольника.

Это свойство важно, потому что мы гарантированно знаем, что полученная кривая будет в понятной и вычисляемой области и не выйдет за ее пределы. В какой-то мере, построенная кривая очень предсказуема.

  1. Свойство Уменьшения Изменчивости:
    Если кривая лежит на плоскости, это значит, что нет такой прямой, которая пересекала бы кривую Безье больше раз, чем ее контрольную ломаную.

Взгляните на рисунок. Желтая линия пересекает кривую 3 раза, а ломаную 7 раз; фиолетовая линия пересекает кривую 5 раз, ломаную 7 раз; голубая линия пересекает и кривую, и ломаную дважды.

Если кривая пространственная, достаточно заменить "прямую" на "плоскость". Есть особые случаи; тем не менее, несложно придумать такую схему подсчета, чтобы она подходила для всех случаев.

Так что же это за свойство такое и причем тут изменчивость? Это свойство говорит о том, что сложность (т.е. повороты и изгибы) кривой не сложнее, чем у ее контрольной ломаной. Взгляните на рисунок выше - ломаная запутаннее кривой, построенной по ней.


Дата добавления: 2015-10-29; просмотров: 292 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Касательный Вектор и Касательная | Нормальный Вектор и Кривизна | Почему Направляющая Тройка Важна? | Проблемы с Параметрическим Представлением | Параметризация По Длине Дуги | Рациональные Кривые | Нахождение точки на Кривой Безье: Алгоритм De Casteljau's | Рекурсивное Представление | Объединение Двух Кривых Безье с соблюдением C1-Непрерывности | Соотношение Между Производной и Алгоритмом de Casteljau |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Рациональные Формы Стандартных Кривых| Перемещение Контрольных Точек

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)