Касательный Вектор и Касательная

Параметрические Кривые: Обзор

Каждая грань ограничена ребрами, которые могут быть отрезками прямых или кривых, а грань сама по себе - частью поверхности (т.e. элемента поверхности). В этом разделе мы поговорим об основных понятиях криволинейных отрезков в параметрической форме.

параметрическая кривая в пространстве имеет следующий вид:

f: [0,1] -> (f (u), g (u), h (u)),

где f (), g () и h () - это три функции с дробными значениями, сопоставляющие дробному числу u на отрезке [0,1] точку в пространстве. Областью значений этих функций и векторной функции f () не обязательно будет [0,1]. Это может быть любой закрытый интервал; но, для простоты, ограничимся отрезком [0,1]. Таким образом, каждому u на отрезке [0,1], соответствует точка (f (u), g (u), h (u)) в пространстве.

Здесь и далее, функции f (), g () и h () - всегда многочлены.

Заметьте, что если функцию h () удалить из определения f (), у f () остается две составляющих и получается кривая на плоскости.

Примеры

• Векторное уравнение прямой такое: B + t d, где B - это базовая точка, а d - это направляющий вектор. Таким образом, если f () определяется как

f (u) = b ₁ + ud ₁
g (u) = b ₂ + ud ₂
h (u) = b ₃ + ud ₃,

где B = < b ₁, b ₂, b ₃ > и d = < d ₁, d ₂, d ₃ >, и f () - это параметрическая кривая, сопоставляющая [0,1] с отрезком прямой от B до B+d, включительно.

• Окружность имеет следующее уравнение не в виде многочлена:

x (u) = r cos(2*PI* u) + p
y (u) = r sin(2*PI* u) + q

Ее центр - (p, q), радиус r. Так как параметр u в пределах [0,1], значение 2*PI* u находится в пределах [0,2*PI] (т.e. от 0 до 360 градусов).

Исключим u. Сначала изменим уравнения. Для удобства выбросим (u) из x (u) и y (u).

x - p = r cos(2*PI* u)
y - q = r sin(2*PI* u)

Затем, возводя оба уравнения в квадрат и складывая, получаем:

(x - p)² + (y - q)² = r ²

Таким образом, эта параметрическая форма описывает окружность.

• Кубическая кривая в пространстве имеет следующий вид:

f (u) = u
g (u) = u ²
h (u) = u ³

Следующий рисунок показывает эту кривую в пределах [-1,1]. Она содержится в прямоугольном параллелепипеде между точками (-1, 0, -1) и (1, 1, 1)

• Круговая спираль описывается так:

f (u) = (a cos(u), a sin(u), bu)

Рисунок ниже показывает эту кривую на отрезке [0, 4*PI]. Начальная точка - (a, 0, 0), а конечная - (a, 0, b). Заметьте, что кривая лежит на цилиндре радиуса a с центральной осью z.

Касательный Вектор и Касательная

Здесь точка X фиксированная, а P - движущаяся. По мере приближения P к X, вектор от X к P приближается к касательному вектору к кривой в точке X. Прямая, на которой этот вектор лежит - это касательная.

Вычислить касателный вектор легко. Производная кривой f (u) имеет вид:

f '(u) = (f '(u), g '(u), h '(u)),

где f '(u) = d f /d u, g '(u) = d g /d u, а h '(u) = d h /d u.

Вообще, длина кас. вектора f '(u) не равна 1, нужна нормализация. То есть, единичный вектор при значении параметра u, или в точке f (u), равен

f '(u) / | f '(u) |,

где | x | - это длина (модуль) x. Касательная к f (u) - это либо

f (u) + t f '(u),

или, если использовать единичный вектор,

f (u) + t (f '(u)/| f '(u)|),

где t это параметр. Заметьте, в этом случае u фиксировано.

Примеры

• Возьмем окружность f (u) = (r cos(2*PI* u) + p, r sin(2*PI* u) + q), где u в пределах от 0 до 1. Касательный вектор в точке u имеет вид:

f '(u) = (-2*PI* r sin(2*PI* u), 2*PI* r cos(2*PI* u)),

а касательная к f (u):

f (u) + t f '(u) = (r cos(2*PI* u) + p, r sin(2*PI* u) + q) + t (-2*PI* r sin(2*PI* u), 2*PI* r cos(2*PI* u)

• Возьмем кубическую кривую в пространстве: f (u) = (u, u ², u ³). Имеем кас. вектор f '(u) = (1, 2 u, 3 u ²) и касательную f (u) + t f '(u) = (u + t, u ² + 2 tu, u ³ + 3 tu ²), где t - это параметр.
• Круговая спираль имеет след. уравнение:

f (u) = (a cos(u), a sin(u), bu)

Ее касательный вектор:

f '(u) = (- a sin(u), a cos(u), b)

и касательная:

f (u) + t f '(u) = (a (cos(u) - t sin(u)), a (sin(u) + t cos(u)), b (t + u))

Дата добавления: 2015-10-29