Кривые B-spline: Перемещение Контрольных Точек

Перемещение контрольных точек - самый очевидный способ изменения формы кривой B-spline. Схема локального изменения, обсуждавшаяся ранее, говорит о том, что изменение позиции контр. точки p _i влияет на кривую p (u) только на промежутке [ u_i, u_{i+p +1}), где p - это степень кривой B-spline. Фактически, измененние формы является переместительным в направлении смещенной контр. точки. Говоря точнее, если контр. точка p _i сместилась в каком-то направлении а новое положение q _i, то точка p (u), где u лежит на [ u_i, u_{i+p +1}), сместится в том же направлении от p _i до q _i. Тем не менее, расстояние смещения различается среди разных точек. На следующих рисунках, контр. точка p ₄ перемещается из положения на первом рисунке в новое положение, показанное на среднем рисунке, и затем в конечное положение (правый рисунок). Как видите, точки, соответствующие узлам (помечены тпеугольниками), перемещаются в том же направлении.

Давайте присмотримся детальнее. Допустим, p (u) - это данная кривая B-spline степени p, определяемая как

Пусть контр. точка p _i перемещается в новое положение p _i + v. Тогда новая кривая B-spline степени p имеет вид:

Таким образом, новая кривая C (u) - это просто сумма исходной кривой p (u) и вектора переноса N_i,p (u) v. Так как N_i,p (u) не равно нулю на интервале [ u_i, u_{i+p+ 1}), то, если u не на этом интервале, то член выражения, отвечающий за перенос, равняется нулю и не влияет на форму кривой. Таким образом, для кривых B-spline, перемещение контр. точки влияет только на форму одной секции. Изображенная ниже кривая слева - это кривая B-spline 4 степени (т.e. p = 4), построенная по 13 контр. точкам (т.e. n = 12) и 18 узлам (т.e. m = 17). Эти 18 узлов являются простыми и описывают фиксированную кривую (т.e., u ₀ = u ₁ = u ₂ = u ₃ = u ₄ = 0 и u ₁₃ = u ₁₄ = u ₁₅ = u ₁₆ = u ₁₇ = 1). Остальные узлы образуют 9 узловых интервалов, и, следовательно, 9 отрезков кривой, как показано на рисунке. Эти девять узловых интервалов и отрезков кривой обозначены так:

Интервал	[ u 4, u 5)	[ u 5, u 6)	[ u 6, u 7)	[ u 7, u 8)	[ u 8, u 9)	[ u 9, u 10)	[ u 10, u 11)	[ u 11, u 12)	[ u 12, u 13)
Отрезок

Теперь давайте переместим p ₆. Результат показан на рисунке справа. Как видите, кривая сместилась в том же направлении, что и контр. точка p ₆. Коэффициент при p ₆ - это N _6,4(u), а это не равно нулю на [ u ₆, u ₁₁). Таким образом, перемещение p ₆ влияет на отрезки кривой 3, 4, 5, 6 и 7. Отрезки 1, 2, 8 и 9 остаются неизменными.

Дата добавления: 2015-10-29