Два Важных Замечания

Так как N_{i ,1}(u) вычисляется из N_{i ,0}(u) и N_{i +1,0}(u), и так как N_{i ,0}(u) и N_{i +1,0}(u) не равны нулю на интервале [ u_i, u_{i +1}) и [ u_{i +1}, u_{i +2}) соответственно, N_{i ,1}(u) не равны нулю на двух этих интервалах. Другими словами, N_{i ,1}(u) не равно нулю на [ u_i, u_{i +2}). Аналогично, так как N_{i ,2}(u) зависит от N_{i ,1}(u) и N_{i +1,1}(u), и так как две эти базисные функции не равны нулю на [ u_i, u_{i +2}) и [ u_{i +1}, u_{i +3}) соответственно, N_{i ,2}(u) не равно нулю на [ u_i, u_{i +3}). В общем случае, чтобы определить ненулевую область базисной функции N_i,p (u), можно пройти обратно по треугольной схеме, пока не дойдем до первого столбца. Окруженные [?covered - закрытые?] интервалы являются ненулевой областью этой базисной функции. Например, допустим, нам нужно найти ненулевую область для N _1,3(u). Основываясь на вышеизложенном, мы можем вернуться в направлениях влево вверх и влево вниз до первого столбца, как показано синей точечной линией на следующей диаграмме. Таким образом, N _1,3(u) не равно нулю на [ u ₁, u ₂), [ u ₂, u ₃), [ u ₃, u ₄) и [ u ₄, u ₅). Или, что идентично, это не равно нулю на [ u ₁, u ₅).

В итоге имеем следующее замечание:

Базисная функция N_i,p (u) не равна нулю на [ u_i, u_{i+p +1}). Или, что идентично, N_i,p (u) не равно нулю на p +1 узловых промежутках [ u_i, u_{i +1}), [ u_{i +1}, u_{i +2}),..., [ u_i+p, u_{i+p +1}).

Далее мы рассмотрим обратное направление. Дан узловой интервал [ u_i, u_{i +1}), нам нужно знать, для вычисления каких базисных функций он нужен. Мы можем начать с этого узлового интервала и провести стрелки в направлениях вверх-вправо и вниз-вправо. Все базисные функции, заключенные в этой клинообразной области, используют N_{i ,0}(u) (почему?) и, следовательно, не равны нулю на этом интервале. Таким образом, все базисные функции степени p, ненулевые на [ u_i, u_{i +1}), являются пересечением этого клина и столбца, содержащего все N_i,p (u). Фактически, этот столбец и две стрелки образуют равносторонний треугольник, у которого вертикальная сторона - это и есть этот столбец. Считая от N_{i ,0}(u) до N_i,p (u) получим p +1 столбцов. Таким образом, вертикальная сторона равностороннего треугольника должна иметь максимум p +1 элементов, а именно N_i,p (u), N_{i -1, p} (u), N_{i -2, p} (u),..., N_{i-p +2, p} (u), N_{i-p +1, p} (u) и N_{i-p , p} (u).

Взгляните на диаграмму выше. Чтобы найти базисные функции 3 степени, которые не равны нулю на [ u ₄, u ₅), проведем две стрелки и получим на вертикальных сторонах искомое. В этом случае это N _1,3(u), N _2,3(u), N _3,3(u), и N _4,3(u). Это показано оранжевым треугольником Синий (соотв., красный) треугольник показывает базисные функции 3 степени, являющиеся ненулевыми на [ u ₃, u ₄) (соотв., на [ u ₂, u ₃)). Заметьте, здесь только три базисных многочлена третьей степени, не равных нулю на [ u ₂, u ₃).

В итоге мы рассмотрели следующее свойство.

На любом узловом интервале [ u_i, u_{i +1}), самое большее p +1 базисных функций p степени не равны нулю, а именно: N_{i-p , p} (u), N_{i-p +1, p} (u), N_{i-p +2, p} (u),..., N_{i -1, p} (u) и N_{i , p} (u),

Дата добавления: 2015-10-29