Множественные Узлы

Если узловой вектор содержит множественные узлы, мы сталкиваемся с ситуацией 0/0, как будет видно позже. Таким образом, принимаем 0/0 равным 0. К счастью, это только для вычислений вручную. Для компьютерного представления существует эффективный алгоритм без такой проблемы. Кроме того, если u_i - узел множественности k (т.e., u_i = u_{i +1} =... = u_{i+k -1}), то узловые интервалы [ u_i, u_{i +1}), [ u_{i +1}, u_{i +2}),..., [ u_{i+k -2}, u_{i+k -1}) не существуют, и в итоге N_{i ,0}(u), N_{i +1,0}(u),..., N_{i+k -1,0}(u) являются нулевыми функциями.

Возьмем узловой вектор U = { 0, 0, 0, 0.3, 0.5, 0.5, 0.6, 1, 1, 1 }. Таким образом, 0 и 1 множественности 3 (т.e., 0(3) и 1(3)), а 0.5 множественности 2 (т.e., 0.5(2)). Отсюда, m = 9 и значения узлов таковы:

u 0	u 1	u 2	u 3	u 4	u 5	u 6	u 7	u 8	u 9
			0.3	0.5	0.5	0.6

Вычислим N_{i ,0}(u). Заметьте, так как m = 9, а p = 0 (базисные функции 0 степени), получаем n = m - p - 1 = 8. Как видно из таблицы ниже, есть только четыре ненулевых базисных функции: N _2,0(u), N _3,0(u), N _5,0(u) и N _6,0(u).

Базисная Функция	Границы	Уравнение	Комментарии
N 0,0(u)	все u		так как [ u 0, u 1) = [0,0) не существует
N 1,0(u)	все u		так как [ u 1, u 2) = [0,0) не существует
N 2,0(u)	[0, 0.3)
N 3,0(u)	[0.3, 0.5)
N 4,0(u)	все u		так как [ u 4, u 5) = [0.5,0.5) не существует
N 5,0(u)	[0.5, 0.6)
N 6,0(u)	[0.6, 1)
N 7,0(u)	все u		так как [ u 7, u 8) = [1,1) не существует
N 8,0(u)	все u		так как [ u 8, u 9) = [1,1) не существует

Теперь перейдем к базисным функциям степени 1. Так как p равно 1, то n = m - p - 1 = 7. Следующая таблица показывает результат:

Базисная Функция	Границы	Уравнение
N 0,1(u)	все u
N 1,1(u)	[0, 0.3)	1 - (10/3) u
N 2,1(u)	[0, 0.3)	(10/3) u
[0.3, 0.5)	2.5(1 - 2 u)
N 3,1(u)	[0.3, 0.5)	5 u - 1.5
N 4,1(u)	[0.5, 0.6)	6 - 10 u
N 5,1(u)	[0.5, 0.6)	10 u - 5
[0.6, 1)	2.5(1 - u)
N 6,1(u)	[0.6, 1)	2.5 u - 1.5
N 7,1(u)	все u

Следующий рисунок показывает графики этих базисных функций.

Рассмотрим конкретные вычисления, скажем, N _1,1(u). Это рассчитывается по следующему выражению:

N _1,1(u) = (u - u ₁) / (u ₂ - u ₁) N _1,0(u) + (u ₃ - u) / (u ₃ - u ₂) N _2,0(u)

Подставляя u ₁ = u ₂ = 0 и u ₃ = 0.3 в это уравнение, получим:

N _1,1(u) = (u /0) N _1,0(u) + (1 - (10/3) u) N _2,0(u)

Так как N _1,0(u) везде равно нулю, первый член становится равным 0/0 и поэтому, как мы приняли, равен нулю. Таким образом, только второй член влияет на результат. Так как N _2,0(u) равно 1 на [0,0.3), N _1,1(u) равно 1 - (10/3) u на [0,0.3).

Далее, вычислим все N_{i ,2}(u). Так как p = 2, имеем n = m - p - 1 = 6. Следующая таблица содержит все N_{i ,2}(u):

Базисная Функция	Границы	Уравнение
N 0,2(u)	[0, 0.3)	(1 - (10/3) u)^2
N 1,2(u)	[0, 0.3)	(20/3)(u - (8/3) u ^2)
[0.3, 0.5)	2.5(1 - 2 u)^2
N 2,2(u)	[0, 0.3)	(20/3) u ^2
[0.3, 0.5)	-3.75 + 25 u - 35 u ^2
N 3,2(u)	[0.3, 0.5)	(5 u - 1.5)^2
[0.5, 0.6)	(6 - 10 u)^2
N 4,2(u)	[0.5, 0.6)	20(-2 + 7 u - 6 u ^2)
[0.6, 1)	5(1 - u)^2
N 5,2(u)	[0.5, 0.6)	12.5(2 u - 1)^2
[0.6, 1)	2.5(-4 + 11.5 u - 7.5 u ^2)
N 6,2(u)	[0.6, 1)	2.5(9 - 30 u + 25 u ^2)

Следующий рисунок показывает все базисные функции степени 2.

Возьмем следующие типичные вычисления в качестве примера, скажем, N _3,2(u). Выражение для расчета такое:

N _3,2(u) = (u - u ₃) / (u ₅ - u ₃) N _3,1(u) + (u ₆ - u) / (u ₆ - u ₄) N _4,1(u)

Подставляя в u ₃ = 0.3, u ₄ = u ₅ = 0.5 и u ₆ = 0.6, имеем

N _3,2(u) = (5 u - 1.5) N _3,1(u) + (6 - 10 u) N _4,1(u)

Так как N _3,1(u) не равно нулю на [0.3, 0.5) и равно 5 u - 1.5, то первый член, (5 u - 1.5)², является ненулевой частью N _3,2(u) на [0.3, 0.5). Так как N _4,1(u) не равно нулю на [0.5, 0.6) и равно 6 - 10 u, то второй член, (6 - 10 u)², является ненулевой частью N _3,2(u) на [0.5, 0.6).

Давайте исследуем непрерывность в узле 0.5(2). Так как его множественность равна 2, а степень этих базисных функций равна 2, базисная функция N _3,2(u) является C ⁰-непрерывной в 0.5(2). Вот почему N _3,2(u) имеет острый угол в 0.5(2). Для узлов не на концах, скажем, в 0.3, C ¹-непрерывность выдерживается, так как все они являются простыми.

Дата добавления: 2015-10-29